Extension radicielle

Dans la théorie des extensions de corps, à l'opposé des extensions algébriques séparables, il existe les extensions radicielles. C'est un phénomène spécifique à la caractéristique positive et qui apparaît naturellement avec les corps de fonctions en caractéristique positive.

Définition

Soit $L/K$ une extension de corps de caractéristique $p>0$. Un élément $x$ de $L$ est dit radiciel sur $K$ s'il existe un entier $n>0$ tel que $x^{p^n}\in K$. Une extension (algébrique) $L/K$ est une extension radicielle si tout élément de $L$ est radiciel sur $K$.

Une extension radicielle est aussi appelée une extension purement inséparable, qui est plus proche de la terminologie anglophone Modèle:Lang. Le terme radiciel reflète le fait que tout élément est une racine d'un élément de $K$ (cette propriété caractérise d'ailleurs les extensions radicielles parmi les extensions algébriques quelconques).

Une extension radicielle L/K est de hauteur m si, pour tout élément x de L, on a $x^{p^m}\in K$ et si m est minimal pour cette propriété. Toute extension radicielle finie est de hauteur finie.

Exemples

• Si $a\in K$ est un élément qui n'est pas une puissance $p$-ième dans $K$, alors le polynôme $X^p-a\in K[X]$ est irréductible, son corps de rupture (égal au corps de décomposition ici) est une extension radicielle de $K$ de degré $p$.
• Soit $L$ un corps de caractéristique $p$. Soit $n$ un entier naturel. Alors l'ensemble $L^{p^n}$ des éléments de la forme $x^{p^n}$ est un sous-corps de $L$ et $L/L^{p^n}$ est une extension algébrique radicielle (qui n'est pas nécessairement de degré fini).
• Soit $K(X)$ le corps des fractions rationnelles à une variable sur un corps parfait $K$. Alors $K(X^{1/p})$ est une extension radicielle de degré $p$ sur $K(X)$ et c'est l'unique extension radicielle de $K(X)$ de degré $p$. Il en résulte que toute extension radicielle de $K(X)$ est isomorphe à un corps des fractions rationnelles $K(X^{1/p^d})$.
• En revanche, $K(X,Y)$ a plusieurs extensions radicielles de degré $p$ non isomorphes entre elles (en tant qu'extensions de $K(X,Y)$).

Propriétés

• Une extension radicielle finie est nécessairement de degré une puissance de $p$.
• Le polynôme minimal d'un élément radiciel est de la forme $X^{p^n}-a$.
• Si $L/K$ est une extension radicielle, alors tout homomorphisme de $K$ dans un corps parfait $F$ s'étend de façon unique en un homomorphisme $L\to F$. En particulier, si $F$ contient $L$ (par exemple si c'est une clôture algébrique de $L$), alors tout $K$-homomorphisme de $L$ dans $F$ est égal à l'identité sur $L$ composée avec l'inclusion canonique $L\subseteq F$.
• Une extension radicielle de degré fini se décompose en une succession d'extensions radicielles de degré $p$.
• Une clôture algébrique $\mathrm{\Omega }$ de $K$ est radicielle sur la clôture séparable de $K$ contenue dans $\mathrm{\Omega }$.

Clôture radicielle

Si l'on fixe une clôture algébrique $\mathrm{\Omega }$ de $K$, l'ensemble des éléments de $\mathrm{\Omega }$ radiciels sur $K$ forment une extension radicielle de $K$, appelée clôture radicielle de $K$. C'est un corps parfait. Toutes les clôtures radicielles de $K$ sont isomorphes entre elles.

Par exemple, si $K$ est un corps parfait de caractéristique $p>0$, la clôture radicielle du corps des fractions rationnelles $K(X)$ est la réunion (dans une clôture algébrique de $K(X)$) des extensions $K(X^{1/p^n})$ pour $n$ parcourant les entiers naturels.

Applications aux extensions algébriques

Remarques

• Le degré de l'extension $L/E$ est appelé le degré d'inséparabilité de l'extension $L/K$.
• En général on ne peut pas décomposer $L/K$ en une extension radicielle $F/K$ et une extension séparable $L/F$. Mais si $L/K$ est une extension finie normale, alors c'est une extension galoisienne d'une extension radicielle de $K$. Ici l'extension radicielle n'est autre le sous-corps des éléments de $L$ invariants par le groupe des $K$-automorphismes de $L$.
• Un corps est parfait si et seulement s'il n'a pas d'extension radicielle autre que lui-même.
• Un corps de fonctions en caractéristique positive en au moins une variable n'est jamais parfait.
• Contrairement aux extensions finies séparables, une extension radicielle finie n'admet pas nécessairement d'élément primitif. Par exemple, l'extension $K(X^{1/p},Y^{1/p})$ du corps des fractions rationnelles $K(X,Y)$ nécessite deux générateurs.

Liens avec le Frobenius

L'endomorphisme de Frobenius d'un anneau A de caractéristique p est donné par x ↦ xModèle:Exp. Si K est un corps de caractéristique p, alors le Frobenius K → K induit une extension radicielle de hauteur 1. C'est l'extension K de KModèle:Exp (l'ensemble des puissances p-ièmes des éléments de K) ou l'extension KModèle:Exp (l'ensemble des racines p-ièmes des éléments de K dans une clôture algébrique de K) de K.

Inversement, toute extension radicielle L/K de hauteur 1 est contenue dans KModèle:Exp.

Géométrie algébrique

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est dit radiciel si pour tout corps K, l'application $X(K)\to Y(K)$ est injective. Cela revient à dire que f est injective et que pour tout point x de X, l'extension des corps résiduels $k(x)/k(f(x))$ est radicielle.

On dit que f est un homéomorphisme universel si pour tout Y-schémas Z, le morphisme $X{\times }_{Y}Z\to Z$ obtenu par changement de base est un homéomorphisme. Un morphisme fini surjectif et radiciel est un homéomorphisme universel, et l'inverse est vraie si de plus f est de présentation finie.

Si A est une variété abélienne supersingulière sur un corps de caractéristique p, le morphisme de multiplication par p sur A est un morphisme radiciel.

Notes et références

Références

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Masson, 1981, chap. V
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Articles connexes

Endomorphisme de Frobenius Modèle:Palette