Factorielle exponentielle

Une factorielle exponentielle est un entier naturel n élevé à la puissance Modèle:Nobr, qui à son tour est élevé à la puissance Modèle:Nobr, et ainsi de suite, Modèle:Cad :

$n^{(n-1{)}^{(n-2)\cdots }}.$

La factorielle exponentielle peut également être définie avec la relation de récurrence

$a_0=1,a_n=n^{a_{n-1}}.$

Les premières factorielles exponentielles sont 1, 1, 2, 9, Modèle:Nb, etc. Modèle:OEIS. Donc, par exemple, [[100 000 (nombre)|Modèle:Nb]] est une factorielle exponentielle car

$262144=4^{3^{2^1}}.$

Les factorielles exponentielles croissent beaucoup plus rapidement que la factorielle ou même l'hyper-factorielle. La factorielle exponentielle de 5 est 5Modèle:Exp, qui vaut approximativement Modèle:Nb.

La somme des inverses des factorielles exponentielles à partir de 1 est le nombre transcendant Modèle:Nb Modèle:OEIS2C.

Comme la tétration, il n'existe actuellement aucune méthode acceptée d'extension de la fonction factorielle exponentielle aux valeurs réelles et complexes, contrairement à la fonction factorielle, pour laquelle une telle extension est fournie par la fonction gamma.

Références

• Jonathan Sondow, « Exponential Factorial » de Mathworld