Famille normale

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une famille normale est une famille de fonctions holomorphes (analytiques complexes) dans un domaine D ouvert telle que de toute suite de termes de la famille on peut extraire une sous-suite uniformément convergente sur les parties compactes de D.

Il se peut que la limite de la suite convergente n'appartienne pas à la famille. La fonction limite peut être la constante infinie. Donc toute fonction limite est partout finie, ou bien est la constante infinie.

Remarque : la famille est indexée mais l'ensemble d'indices n'est pas nécessairement dénombrable.

Notations et vocabulaire

• Un point est dit intérieur à un domaine D s'il existe un disque centré en ce point et de rayon non nul dont tous les points sont éléments de D.
• On dit d'un ensemble E de points qu'il est complètement intérieur à D si tous les points de l'adhérence de E sont intérieurs à D.
• Dans la suite, sauf mention contraire, le domaine considéré est ouvert, c'est-à-dire que tous ses points lui sont intérieurs.

Prologue

Avant que la notion de famille normale n'apparaisse sous la plume de Paul Montel en 1912, plusieurs mathématiciens avaient découvert des résultats allant dans ce sens. Par exemple le théorème de Stieltjes (1894) : Modèle:Début citation Étant donné une suite de fonctions holomorphes et bornées dans leur ensemble dans un domaine D, si cette suite converge uniformément dans un domaine intérieur, elle converge uniformément dans l'intérieur de D.Modèle:Fin citation

et Vitali avait donné le théorème suivant (1903) : Modèle:Début citationSi une suite de fonctions holomorphes et bornées dans leur ensemble dans l'intérieur d'un domaine D converge en une infinité de points complètement intérieurs à D, la suite converge uniformément dans l'intérieur de ce domaine.Modèle:Fin citation

On avait également démontré le résultat suivant : Modèle:Début citationSoit une famille de fonctions holomorphes f(z) dans un domaine D vérifiant, dans ce domaine, l'inégalité |f(z)-a|>m. Alors il existe une suite extraite de la famille qui converge uniformément à l'intérieur de D vers une fonction limite qui peut être la constante infinie. Modèle:Fin citation

Propriétés des familles normales

Transformation conforme

La normalité de la famille se conserve par transformation conforme.

Normalité en un point

Une famille est dite normale en un point s'il existe un disque ayant ce point pour centre et tel que la famille soit normale dans ce disque.

Modèle:Début citation Si une famille est normale dans un domaine ouvert D, elle est normale en chacun des points du domaine.Modèle:Fin citation

La réciproque est également vraie : Modèle:Début citation Si une famille est normale en chaque point d'un domaine, elle est normale dans ce domaine.Modèle:Fin citation

Fonctions normales bornées

Modèle:Début citationSi les valeurs des fonctions d'une famille normale dans un domaine D sont bornées en un point fixe de ce domaine, les fonctions sont bornées dans leur ensemble dans chaque domaine complètement intérieur à D.Modèle:Fin citation

On peut ainsi appliquer le théorème de Stieltjes ou le théorème de Vitali aux familles normales.

Nombre de solutions de f(z) = a

Modèle:Début citation Si une famille normale dans un domaine D borné est telle qu'il existe pour chaque fonction $g_n$ de la famille une solution dans D à l'équation $g_n(z)=b$ pour un b fixé et que la famille n'admet aucune fonction limite g égale à la constante a, le nombre des solutions de l'équation $g_n(z)=a$ contenues dans D est borné pour toutes les fonctions de la famille.Modèle:Fin citation

Il faut entendre par solution contenue dans D un point intérieur à D.

Point irrégulier

On dit d'un point P qu'il est irrégulier pour une famille si la famille n'est pas normale en ce point. Ces points irréguliers sont également appelés « points de Julia ».

Modèle:Début citation Si une famille n'est pas normale dans un domaine D, il existe un point irrégulier intérieur au domaine.Modèle:Fin citation Modèle:Début citation Pour une famille de fonctions holomorphes bornées en chaque point, les points irréguliers forment un ensemble parfait non dense, continu et d'un seul tenant avec la frontière du domaine.Modèle:Fin citation

Critère de normalité

Modèle:Début citationToute famille de fonctions holomorphes dans un domaine D où elles ne prennent ni la valeur a ni la valeur b est normale dans ce domaine.Modèle:Fin citation On dit que a est une valeur exceptionnelle pour f dans le domaine D si f ne prend pas la valeur a dans ce domaine.

le théorème précédent s'écrit donc Modèle:Début citationToute famille de fonctions holomorphes dans un domaine D où elles admettent deux valeurs exceptionnelles communes est normale dans ce domaine.Modèle:Fin citation

Applications

Dans la suite, il est donné des exemples de familles normales, des cas où la famille n'est pas normale ainsi que les principales applications de la théorie.

Exemples

• Soit une famille de fonctions f ne prenant pas les valeurs a et b, variables avec f mais telles que |a| <M, |b| <M et |a-b| > d, M et d étant des nombres fixés. Alors la famille est normale.
• La famille formée des primitives des fonctions d'une famille holomorphe bornée à l'intérieur de D est une famille normale dans D.
• La famille {f(z)+n}, où f(z) est une fonction analytique dans un domaine D quelconque, est normale dans D. La fonction limite est +∞.
• Soit f(z) une fonction entière non constante. La famille de fonctions entières définies par $f_n(z)=f(2^{n}z)$ n'est pas normale dans le cercle |z|<2.

Le théorème de Harnack

Soit une suite infinie de fonctions harmoniques sur un domaine D et telles qu'en chaque point de D, on ait $u_1\le u_2\le \dots \le u_n\le \dots$, alors la suite converge uniformément vers une fonction harmonique ou vers l'infini. La suite forme une famille normale. Si la suite est bornée en un point P intérieur à D, elle converge donc uniformément vers une fonction harmonique à l'intérieur de D. C'est le théorème de Harnack.

Le théorème de F. et R. Nevanlinna

Modèle:Début citation Une condition nécessaire est suffisante pour qu'une fonction holomorphe dans le domaine D soit le quotient de deux fonctions bornées est que la suite des fonctions harmoniques $u_n$, qui prennent les valeurs ${\log }^{+}|f(z)|$ sur une suite de contours $C_n$ limitant des domaines emboités de limite D, soit bornée en un point de ce domaine.Modèle:Fin citation

Les deux théorèmes de Picard

Modèle:Début citation Une fonction entière qui ne se réduit à une constante prend toutes les valeurs sauf un au plus.Modèle:Fin citation Modèle:Début citation Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.Modèle:Fin citation

Le théorème de l'application conforme

La notion de famille normale est utilisée dans la démonstration du théorème de l'application conforme de Riemann.

Le théorème de Paul Montel

Modèle:Début citationSi F est une famille de fonctions holomorphes dans un domaine D uniformément bornée sur tout compact de D, alors elle est normale.Modèle:Fin citation

Le théorème de Gu

Modèle:Début citation Soient D un domaine, a et b deux nombres complexes (b non nul) et k un entier positif non nul. Soit F une famille de fonctions méromorphes dans D telle que chacune des équations $f_n(z)=a,f_n^{(k)}(z)=b$ n'ait pas de solution dans D. Alors la famille est normale dans D.Modèle:Fin citation

Le théorème de Modèle:Lien

Modèle:Début citation Toute famille de fonctions f(z) holomorphes dans un domaine D où elles ne prennent pas la valeur a et où leurs dérivées d'ordres Modèle:Math ne prennent pas la valeur non nulle b, est normale dans D. Modèle:Fin citation

Bibliographie

Jusqu'à récemment, il n'existait que deux livres sur les familles normales, celui écrit par Paul Montel en 1927, et celui de Valiron publié en 1929.

• Modèle:En Chi-Tai Chuang, Modèle:Langue, World Scientific, Singapour, 1993 Modèle:ISBN.
• Paul Montel, Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leurs applications, Paris, Gauthier-Villars, 1927.
• Modèle:En Joel L. Schiff, Modèle:Langue, Springer Universitext, New York, 1993 Modèle:ISBN.
• Georges Valiron, Familles normales et quasi-normales de fonctions méromorphes, Mémorial des sciences mathématiques 38, Paris, Gauthiers-Villars, 1929.
• Modèle:Ouvrage.

Articles connexes

• Équicontinuité
• Topologie compacte-ouverte