Théorème de Montel
En analyse complexe, il existe deux théorèmes portant le nom de Paul Montel, donnant tous deux des conditions pour qu'une famille de fonctions holomorphes soit normale.
Caractérisation des familles normales
Soit un ouvert du plan complexe. On note l'ensemble des fonctions holomorphes de dans le plan complexe. Paul Montel a démontré le résultat suivant[1] : Modèle:Énoncé Autrement dit, les compacts de sont les fermés bornés ; on dit aussi que est un espace de Montel.
Ce théorème se démontre à l'aide du théorème d'Arzela-Ascoli[2].
Famille évitant deux valeurs
Une version plus forte du théorème de Montel, appelée parfois le Modèle:Lien est l'énoncé suivant[3] : Modèle:Énoncé
Ce théorème a joué un rôle crucial dans le développement de la dynamique holomorphe par Pierre Fatou et Gaston Julia[4].
Il permet également de démontrer les théorèmes de Picard[5].
Notes et références
- ↑ Paul Montel, Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leurs applications, Paris, Gauthier-Villars, 1927, p. 21.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Montel 1927, p. 61
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Montel 1927, chap. 3