Fonction à valeurs vectorielles

En mathématiques, une fonction à valeurs vectorielles ou fonction vectorielle est une fonction dont l'espace d'arrivée est un ensemble de vecteurs, son ensemble de définition pouvant être un ensemble de scalaires ou de vecteurs.

Un exemple : les courbes paramétrées

Graphe de la courbe paramétrée Modèle:Math, le vecteur représentant la valeur de la fonction pour Modèle:Math.

Un exemple classique de fonctions vectorielles est celui des courbes paramétrées, c'est-à-dire des fonctions d'une variable réelle $t$ (représentant par exemple le temps dans les applications en mécanique du point) à valeurs dans un espace euclidien, par exemple le plan usuel (on parle alors de courbes planes) ou l'espace usuel (on parle alors de courbes gauches).

Si $E={ℝ}^n$, en termes des coordonnées cartésiennes Modèle:Math, une courbe paramétrée $𝐫:I\subset ℝ\to {ℝ}^n$ peut s'écrire sous la forme

$𝐫(t)=f_1(t){𝐞}_1+\cdots +f_n(t){𝐞}_n$

où les $f_j:I\to ℝ$ sont les fonctions coordonnées.

Par exemple, dans l'espace cartésien ${ℝ}^3$, en notant Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math les vecteurs unités usuels, une courbe paramétrée $𝐫:I\subset ℝ\to {ℝ}^3$ s'écrit sous la forme

$𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣+h(t)𝐤$

où $f,g,h:I\to ℝ$ sont les fonctions coordonnées. Modèle:Clr

Définition

Une fonction à valeurs vectorielles est une fonction d'un ensemble Modèle:Mvar quelconque dans un espace vectoriel Modèle:Mvar sur un corps Modèle:Mvar (commutatif).

Quelques cas courants sont :

• Modèle:Mvar est un sous-ensemble de ${ℝ}^n$ (par exemple un intervalle de $ℝ$), $K=ℝ$ et $E={ℝ}^n$. Ce cadre couvre notamment le calcul différentiel en dimension finie (notamment les courbes paramétrées évoquées plus haut) et un nombre important d'outils en physique, comme ceux utilisés en mécanique du point, en mécanique des fluides, en thermodynamique, etc.
• Modèle:Mvar est un espace de probabilité, $K=ℝ$ et $E={ℝ}^n$. Les fonctions vectorielles de Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar qui sont mesurables sont appelées des vecteurs aléatoires, généralisant la notion de variable aléatoire.

Fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles

Considérons dans cette section une fonction vectorielle Modèle:Math d'un intervalle $I\subset ℝ$ à valeurs dans ${ℝ}^n$. On note $f_1,\dots ,f_n:I\to ℝ$ les fonctions coordonnées associées :

$𝐟(t)=(f_1(t),\dots ,f_n(t))=f_1(t){𝐞}_1+\cdots +f_n(t){𝐞}_n$

pour tout Modèle:Math où les Modèle:Math sont les vecteurs de la base canonique de ${ℝ}^n$.

On peut déduire des propriétés de Modèle:Math sur celles des Modèle:Mvar et réciproquement. Par exemple :

• Modèle:Math tend vers un vecteur Modèle:Math quand Modèle:Mvar tend vers Modèle:Math (éventuellement Modèle:Math) si et seulement si chaque Modèle:Math tend vers Modèle:Mvar quand Modèle:Mvar tend vers Modèle:Math ;
• Modèle:Math est continue sur Modèle:Mvar si et seulement si chaque Modèle:Mvar l'est ;
• Modèle:Math est dérivable sur Modèle:Mvar si et seulement si chaque Modèle:Mvar l'est.

Si Modèle:Math est dérivable sur Modèle:Mvar, sa dérivée correspond à la dérivation composante par composante :

${𝐟}^{\prime }(t)=(f_1^{\prime }(t),\dots ,f_n^{\prime }(t))=f_1^{\prime }(t){𝐞}_1+\cdots +f_n^{\prime }(t){𝐞}_n.$

Géométriquement, Modèle:Math représente (lorsqu'il n'est pas nul) le vecteur tangent à la courbe représentative de Modèle:Math au point Modèle:Math.

On peut en déduire un certain nombre de formules utiles en analyse vectorielle. Par exemple, si $𝐟,𝐠:I\to {ℝ}^n$ sont deux fonctions vectorielles dérivables, alors :

• Le produit scalaire canonique $𝐟\cdot 𝐠:I\to ℝ$ est dérivable et on a

${(𝐟\cdot 𝐠)}^{\prime }=𝐟\cdot {𝐠}^{\prime }+{𝐟}^{\prime }\cdot 𝐠$.

• Dans le cas Modèle:Math, le produit vectoriel $𝐟\wedge 𝐠:I\to {ℝ}^3$ est dérivable et on a

${(𝐟\wedge 𝐠)}^{\prime }=𝐟\wedge {𝐠}^{\prime }+{𝐟}^{\prime }\wedge 𝐠$.

Articles connexes

• Vecteur aléatoire
• Analyse vectorielle