Fonction omega de Wright

La fonction omega de Wright le long de l'axe réel.

En mathématiques, la fonction omega de Wright ou fonction de Wright dénotée ω, est définie à partir de la fonction W de Lambert par :

$\omega (z)=W_{\lceil \frac{\mathrm{I}\mathrm{m}(z)-\pi }{2\pi }\rceil }({\mathrm{e}}^z).$

Utilisation

Une des principales applications de cette fonction est dans la résolution de l'équation Modèle:Math, comme l'unique solution est donnée par Modèle:Math.

La valeur Modèle:Math est l'unique solution, quand $z\ne x\pm i\pi$ pour Modèle:Math, de l'équation Modèle:Math. A l'exception de ces deux rayons, la fonction omega de Wright est continue, et même analytique.

Propriétés

La fonction omega de Wright satisfait la relation Modèle:Math.

Elle vérifie aussi l'équation différentielle

$\frac{d\omega }{dz}=\frac{\omega }{1+\omega }$

partout où Modèle:Math est analytique (ce qui peut se voir avec une séparation de variables et en utilisant l'équation Modèle:Math), et par conséquent sa primitive peut s'écrire :

$\int w^n\mathrm{d}z=\{\begin{array}{cc}\frac{{\omega }^{n+1}-1}{n+1}+\frac{{\omega }^n}{n}& \text{ si }n\ne -1,\\ \ln (\omega )-\frac{1}{\omega }& \text{ si }n=-1.\end{array}$

Sa série de Taylor autour du point Modèle:Math prend la forme :

$\omega (z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{q_n({\omega }_a)}{(1+{\omega }_a{)}^{2n-1}}\frac{(z-a{)}^n}{n!}$

avec

$q_n(w)=\sum _{k=0}^{n-1}⟨⟨\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}⟩⟩(-1{)}^k{w}^{k+1}$

avec

$⟨⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩⟩$

désignant les nombres eulériens seconde espèce.

Valeurs spéciales

$\begin{array}{ccc}\omega (0)& =W_0(1)& \approx 0,56714\\ \omega (1)& =1& \\ \omega (-1\pm \mathrm{i}\pi )& =-1& \\ \omega (-\frac{1}{3}+\ln \left(\frac{1}{3}\right)+\mathrm{i}\pi )& =-\frac{1}{3}& \\ \omega (-\frac{1}{3}+\ln \left(\frac{1}{3}\right)-\mathrm{i}\pi )& =W_{-1}(-\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{3}})& \approx -2,237147028\end{array}$

Tracés

• Tracés de la fonction omega de Wright sur le plan complexe
• 
  Modèle:Math
• 
  Modèle:Math
• 
  Modèle:Math

Références

• "On the Wright ω function", Robert Corless and David Jeffrey

Modèle:Portail