Fonction W de Lambert

Les deux branches de la fonction de Lambert sur l'ensemble Modèle:Math.

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Jean-Henri Lambert, et parfois aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction de variable complexe Modèle:Mvar définie par Modèle:Math, c'est-à-dire que pour tout nombre complexe z et w, nous avons :

$z=w{\mathrm{e}}^w⟺w=W(z).$

Puisque la fonction Modèle:Mvar n'est pas injective, Modèle:Mvar est une fonction multivaluée ou « multiforme » qui comprend deux branches pour les valeurs réelles $x⩾-\frac{1}{\mathrm{e}}$. Une des branches, la branche principale, Modèle:Math peut être prolongée analytiquement en dehors de Modèle:Math. Pour tout nombre complexe Modèle:Math, on a :

$W_0(z){\mathrm{e}}^{W_0(z)}=z.$

La fonction Modèle:Mvar de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.

Historique

Lambert s'est intéressé à l'équation connue sous le nom d'équation transcendante de Lambert en 1758, ce qui conduisit à une note de Leonhard Euler en 1783 qui discutait le cas particulier de Modèle:Math. La première description de la fonction Modèle:Mvar semble due à George Pólya et Gábor Szegő en 1925. La fonction de Lambert fut « redécouverte » tous les dix ans environ dans des applications spécialisées, mais son importance ne fut pas vraiment appréciée avant les années 1990, lorsqu'il fut annoncé que la fonction de Lambert donnait une solution exacte aux valeurs propres de l'énergie du système quantique correspondant au modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges égales, un problème physique fondamental. Corless et d'autres développeurs du système Maple firent une recherche bibliographique et découvrirent que cette fonction apparait un peu partout dans des applications pratiques.

Branches de la « fonction » de Lambert

Représentation graphique de la branche Modèle:Math de la fonction Modèle:Mvar de Lambert.

La partie supérieure de la courbe (y > −1) est la branche Modèle:Math ; la partie inférieure (y < −1) est la branche Modèle:Math définie pour x < 0.

Si nous nous limitons aux arguments réels Modèle:Math, il existe une fonction et une seule Modèle:Math à valeurs réelles $\ge -1$ telle que

$x=f(W_0(x));$ $x=W_0(x){\mathrm{e}}^{W_0(x)};$

c'est la branche principale de Modèle:Mvar dans ce domaine. La représentation graphique de Modèle:Math figure à droite.

On note généralement Modèle:Math l'autre branche à valeurs réelles, c'est-à-dire la branche correspondant aux arguments x tels que $-1/\mathrm{e}\le x<0$, et à valeurs $\le -1$.

Propriétés élémentaires

Expression de Modèle:Math

On a Modèle:Math, donc, si Modèle:Mvar désigne une des deux branches Modèle:Math ou Modèle:Math :

$\mathrm{\forall }y\ne 0,{\mathrm{e}}^{W(y)}=\frac{y}{W(y)}.$

Conséquences de la définition

De l'égalité de la définition, on peut déduire :

• $W(-{\mathrm{e}}^{-1})=-1$ (où Modèle:Mvar désigne l'une quelconque des deux branches)
• $W_0(x\cdot {\mathrm{e}}^x)=x,$ si Modèle:Math.
• $W_{-1}(x\cdot {\mathrm{e}}^x)=x,$ si Modèle:Math.
• $W(x)=\ln \left(\frac{x}{W(x)}\right)$ (où Modèle:Mvar désigne l'une quelconque des deux branches et Modèle:Mvar est non nul)
• $\ln W_0(x)=\ln (x)-W_0(x)$ si Modèle:Math
• $W_0(-\frac{\ln x}{x})=-\ln x(0<x⩽\mathrm{e})$
• $W_{-1}(-\frac{\ln x}{x})=-\ln x(x⩾\mathrm{e})$
• $W_0(x\ln x)=\ln x\text{et}{\mathrm{e}}^{W_0(x\ln x)}=x(x⩾\frac{1}{\mathrm{e}})$
• $W_{-1}(x\ln x)=\ln x\text{et}{\mathrm{e}}^{W_{-1}(x\ln x)}=x(0<x⩽\frac{1}{\mathrm{e}})$

Valeurs particulières

Voici quelques valeurs remarquables de Modèle:Mvar, obtenues simplement en remarquant que Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, etc. :

• $W_0(0)=0$
• $W_0(\mathrm{e})=1$
• $W_0(-\frac{1}{\mathrm{e}})=W_{-1}(-\frac{1}{\mathrm{e}})=-1$
• $W_0(1)=\mathrm{\Omega }\simeq 0,56714329\dots$ où Modèle:Math est la constante oméga
• $W_0(1)={\mathrm{e}}^{-W_0(1)}=\ln \left(\frac{1}{W_0(1)}\right)=-\ln W_0(1)$

On peut obtenir de même des valeurs complexes de Modèle:Math pour certains Modèle:Math ; ainsi $W(-\frac{\pi }{2})=\pm \frac{\mathrm{i}\pi }{2}$

Dérivée

Si Modèle:Mvar désigne une des deux branches Modèle:Math ou Modèle:Math, la formule de dérivation des bijections réciproques montre que sa dérivée est :

pour $x\ne -\frac{1}{\mathrm{e}},W^{\prime }(x)=\frac{1}{(1+W(x)){\mathrm{e}}^{W(x)}}=\frac{1}{x+{\mathrm{e}}^{W(x)}}$ pour Modèle:Math et $x\ne -\frac{1}{e},W^{\prime }(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))},$ ${W_0}^{\prime }\left(0\right)=1$

ce qui a pour conséquence que chacune des deux branches de Modèle:Mvar satisfait l'équation différentielle :

$x(1+y)y^{\prime }=y$ pour Modèle:Math.

Cette équation est d'ailleurs à variables séparables, et ses solutions sont toutes de la forme $x\mapsto W_{-1}(kx)$ (avec k ≠ 0) ou $x\mapsto W_0(kx)$.

Primitives

La fonction Modèle:Mvar désignant une des deux branches Modèle:Math ou Modèle:Math, beaucoup de fonctions impliquant Modèle:Mvar, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable Modèle:Math, i.e. Modèle:Math :

$\int W(x)\mathrm{d}x=xW(x)-x+{\mathrm{e}}^{W(x)}+C=x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C$

Méthodes de calcul de Modèle:Math

Par la série de Taylor

Représentation de la branche principale Modèle:Math de la fonction de Lambert dans le plan complexe (le code des couleurs utilisé est commenté précisément au début de l'article « Fonction zêta »).

La série de Taylor de Modèle:Math au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange et est donnée par

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n=x-x^2+\frac{3}{2}{x}^3-\frac{8}{3}{x}^4+\frac{125}{24}{x}^5-\cdots$.

Le rayon de convergence est égal à Modèle:Sfrac. Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel Modèle:Math ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction Modèle:Mvar de Lambert.

Nous déduisons de la série de Taylor l'équivalent suivant de Modèle:Math en 0 : $W_0(x)\sim 0x$

Comme limite d'une suite

On peut calculer Modèle:Math de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale Modèle:Math égale à 1 et en calculant les termes de la suite

$w_{n+1}=x{\mathrm{e}}^{-w_n}$.

Si cette suite converge, on voit aisément que sa limite est Modèle:Math. On démontre que c'est en effet le cas si $x\in [-{\mathrm{e}}^{-1};\mathrm{e}]$ :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{w}_n=W_0(x).$

Il est moins simple, mais beaucoup plus efficace, d'utiliser la méthode de Newton, partant de Modèle:Math, et posant

$w_{n+1}=w_n-\frac{w_n{\mathrm{e}}^{w_n}-x}{(1+w_n){\mathrm{e}}^{w_n}};$

cette suite converge (très rapidement) vers Modèle:Math pour tout Modèle:Math.

Développements asymptotiques de Modèle:Math

On a, pour Modèle:Mvar tendant vers $+\mathrm{\infty }$, le développement asymptotique à trois termes suivant :

$W_0(x)=\ln x-\ln \ln x+\frac{\ln \ln x}{\ln x}+O\left({\left(\frac{\ln \ln x}{\ln x}\right)}^2\right).$

On a pour x tendant vers Modèle:Math, le développement asymptotique de Modèle:Math :

$W_0(x)=-1+\sqrt{2(\mathrm{e}x+1)}+o\left(\sqrt{x+\frac{1}{\mathrm{e}}}\right).$

Développement asymptotique de Modèle:Math

On peut également obtenir un développement asymptotique pour Modèle:Math avec Modèle:Mvar tendant vers Modèle:Math :

$W_{-1}(x)=\ln (-x)-\ln (-\ln (-x))+\frac{\ln (-\ln (-x))}{\ln (-x)}+O\left({\left(\frac{\ln (-\ln (-x))}{\ln (-x)}\right)}^2\right).$

Paramétrisation des deux branches réelles de la fonction W de Lambert

Les deux branches réelles Modèle:Math et Modèle:Math de la fonction Modèle:Mvar de Lambert peuvent s'écrire de façon paramétrée.

En effet il existe $\alpha \in [0,1]$ qui permet d'écrire $\mathrm{\forall }x\in [-\frac{1}{\mathrm{e}},0]$:$\{\begin{array}{cc}{W}_0(x)& =\frac{\alpha \ln (\alpha )}{1-\alpha }\\ W_{-1}(x)& =\frac{\ln (\alpha )}{1-\alpha }\\ x& ={\alpha }^{\frac{1}{1-\alpha }}\ln \left({\alpha }^{\frac{1}{1-\alpha }}\right)\end{array}$

Utilisation

Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction Modèle:Mvar. La stratégie générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à Modèle:Math. À ce point, la Modèle:Citation Modèle:Mvar nous fournit les solutions :

$X{\mathrm{e}}^X=Y⟺X=W(Y)$

(chaque branche différente de la Modèle:Citation Modèle:Mvar donne une solution différente).

Exemples d'applications

Équation   Modèle:Math

Par exemple, pour résoudre l'équation Modèle:Math, nous divisons par $-\frac{5}{\ln 2}{2}^t$ pour obtenir $\frac{-\ln 2}{5}=-\ln (2)t{\mathrm{e}}^{-\ln (2)t}.$ La définition de la Modèle:Citation Modèle:Mvar donne alors $-\ln (2)t=W\left(\frac{-\ln (2)}{5}\right)$, soit $t=-\frac{W(-\ln (2)/5)}{\ln (2)}.$

Comme $-\frac{\ln 2}{5}<0,$ cette formule donne deux solutions réelles : $t_0=-\frac{W_0(-\ln (2)/5)}{\ln (2)}$ et $t_1=-\frac{W_{-1}(-\ln (2)/5)}{\ln (2)}.$

Équations   Modèle:Mvar   et   Modèle:Math

Avec la « fonction » Modèle:Mvar de Lambert, on peut résoudre des équations du type Modèle:Math (avec $z\ge {\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{e}}$ et $x\ge 1/\mathrm{e}$) par :

$\ln z=x\ln x={\mathrm{e}}^{\ln x}\ln x⟺\ln (x)=W(\ln z),$

donc

$x={\mathrm{e}}^{W(\ln z)}$
et, si $z=1$, $x=\frac{\ln (z)}{W(\ln z)}$.

Les solutions de l'équation :

$x{\log }_b(x)=a$

(avec

$b>0$

et

$a\ln b\ge -1/\mathrm{e}$

), équivalente à

$x^x=b^a$

, sont données avec la Modèle:Citation Modèle:Mvar de Lambert :

$x={\mathrm{e}}^{W(a\ln (b))}$
et, si $a\ln b=0$, $x=\frac{a\ln (b)}{W(a\ln (b))}$

.

La tétration infinie

En général, la tour de puissances infinie $x^{x^{x^{..}}}$ converge si et seulement si ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{e}}\le x\le {\mathrm{e}}^{1/\mathrm{e}}$.

Si Modèle:Mvar est un nombre réel avec ${\mathrm{e}}^{-1}\le r\le \mathrm{e}$ et Modèle:Mvar le nombre $x=r^{1/r}$, alors la limite de la suite définie par $u_{n+1}=x^{u_n}$ et $u_0=x$ est Modèle:Mvar :

$x^{x^{x^{..}}}=r$.

Quand une tétration infinie $x^{x^{x^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$ converge, la fonction Modèle:Math de Lambert fournit la valeur de la limite réelle comme : $r={\mathrm{e}}^{-W_0(-\ln x)}$
($r=\frac{W_0(-\ln x)}{-\ln x}$ si Modèle:Math).

Cela peut être étendu aux nombres complexes Modèle:Mvar avec la définition :

$h(z)=z^{z^{z^{{.}^{{.}^{.}}}}}={\mathrm{e}}^{-W_0(-\mathrm{Log}z)}=-\frac{{\mathrm{W}}_0(-\mathrm{Log}z)}{\mathrm{Log}z}$

où Modèle:Math représente la branche principale de la fonction logarithme complexe.

Équation   Modèle:Math

La bijection réciproque de

$g:x\mapsto x+{\mathrm{e}}^x$

peut être obtenue explicitement : résolvant l'équation

$g(x)=x+{\mathrm{e}}^x=y,$

on remarque d'abord qu'elle équivaut, en posant

$X={\mathrm{e}}^x,$

à

$X{\mathrm{e}}^X={\mathrm{e}}^y,$

et donc

$X=W_0({\mathrm{e}}^y),$

soit :

$x=g^{-1}(y)=\ln W_0({\mathrm{e}}^y)=y-W_0({\mathrm{e}}^y).$

Équations   Modèle:Math

Résolution des équations de forme : $a{e}^x+bx+c=0$ avec $(a,b,c)\in {ℝ}^{*2}\times ℝ$ et Modèle:Mvar dans $ℝ$.

On pose $\mathrm{\Delta }=\frac{a}{b}{\mathrm{e}}^{-\frac{c}{b}}$, ce nombre est appelé le discriminant. Il intervient dans la détermination du nombre de solutions de l'équation.

Équations   Modèle:Math

À l'aide du changement de variable Modèle:Math, la résolution des équations de la forme : $a\ln (x)+bx+c=0$ avec $(a,b,c)\in {ℝ}^{*2}\times ℝ$ et Modèle:Mvar dans ${ℝ}^{*+}$ se déduit du cas précédent. Les solutions sont alors (en n'oubliant pas que Modèle:Mvar est multivaluée) de la forme :

$x=\exp (-W\left(\mathrm{\Delta }\right)-\frac{c}{a})$ ,

où $\mathrm{\Delta }=\frac{b}{a}{\mathrm{e}}^{-\frac{c}{a}}$.

Équations   Modèle:Math   et   Modèle:Math

Plus généralement, la fonction Modèle:Mvar de Lambert permet de résoudre les équations de la forme : $a{\lambda }^x+bx+c=0$ et $a{\log }_{\lambda }(x)+bx+c=0$ avec $\lambda >0$ et $\lambda \ne 1$, Modèle:Mvar dans $ℝ$ et $(a,b,c)\in {ℝ}^{*2}\times ℝ$.

Il suffit pour cela de considérer une fonction $W_{\lambda }$ tel que $X{\lambda }^X=Y⟺X=W_{\lambda }(Y)$ de répéter la démonstration ci-dessus et de considérer la formule de changement de base : $W_{\lambda }(x)=\frac{W(x\ln (\lambda ))}{\ln (\lambda )}$. On obtient alors, avec $\mathrm{\Delta }=\frac{a}{b}{\lambda }^{-\frac{c}{b}}$ :

$a{\lambda }^x+bx+c=0\iff x=-W_{\lambda }(\mathrm{\Delta })-\frac{c}{b}=-\frac{W(\mathrm{\Delta }\ln (\lambda ))}{\ln (\lambda )}-\frac{c}{b}$

et avec ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=\frac{b}{a}{\lambda }^{-\frac{c}{a}}$:

$a{\log }_{\lambda }(x)+bx+c=0\iff x={\lambda }^{(-\frac{W({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ln (\lambda ))}{\ln (\lambda )}-\frac{c}{a})}$

Il faut alors considérer le nombre $\mathrm{\Delta }\ln (\lambda )$ pour déterminer la quantité de solutions des équations.

Applications en physique

Constante de Wien

Dans la loi du déplacement de Wien : ${\sigma }_w=T\cdot {\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=2,898\cdot 10^{-3}\mathrm{m}\mathrm{\cdot }\mathrm{K}$. La constante de Wien, noté ${\sigma }_w$ peut être déterminée explicitement à l'aide de la fonction $W$ de Lambert.

Elle vaut : ${\sigma }_w=\frac{1}{5+W_0(-5e^{-5})}\frac{hc}{k_{\mathrm{B}}}$, avec $h$ la constante de Planck, $c$ la vitesse de la lumière dans le vide et $k_{\mathrm{B}}$ la constante de Boltzmann.

Courant dans un circuit diode-résistance

La solution pour connaître la valeur du courant dans un circuit en série de diode/résistance peut être donnée par la fonction Modèle:Mvar de Lambert. Voir la Modèle:Lien.

Diverses formules intégrales

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{W}_0(2{\cot }^2(x)){\sec }^2(x)\mathrm{d}x=4\sqrt{\pi }$ (intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

On obtient alors par changements de variable les égalités remarquables :

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{W}_0\left(\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi }$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{W_0(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\sqrt{2\pi }.$

Représentations graphiques

• Représentation de la partie réelle, de la partie imaginaire et du module de la fonction W de Lambert dans le plan complexe
• 
  $z=\mathrm{\Re }(W_0(x+\mathrm{i}y))$
• 
  $z=\mathrm{\Im }(W_0(x+\mathrm{i}y))$
• 
  $z=|W_0(x+\mathrm{i}y)|$
• 
  Les trois fonctions réunies

Généralisations

La fonction W de Lambert fournit des solutions exactes aux équations « algébriques-transcendantes » (en x) de la forme :

${\mathrm{e}}^{-cx}=a_0(x-r)(1)$

ou a₀, c et r sont des constantes réelles. La solution est $x=r+W(c{\mathrm{e}}^{-cr}/a_o)/c.$

Les généralisations de la fonction W de LambertModèle:,Modèle:, incluent :

• un lien entre la relativité générale et la mécanique quantique (gravité quantique) en dimensions réduites où la partie de droite de l'équation (1) est maintenant un polynôme quadratique en x :

${\mathrm{e}}^{-cx}=a_0(x-r_1)(x-r_2)(2)$

où r₁ et r₂ sont des constantes réelles, les racines du polynôme quadratique. Dans ce cas, la solution est une fonction avec un seul argument x mais les termes comme r_i et a₀ sont des paramètres de la fonction. De ce point de vue, la généralisation ressemble à la série hypergéométrique et la fonction de Meijer G mais appartient pourtant à une « classe » différente de fonctions. Quand r₁ = r₂, chaque côté de (2) peut être factorisé et réduit à (1) et donc la solution se réduit à celle de la fonction standard de W.

L'équation (2) est celle gouvernant le champ d'un dilaton parvenant du modèle R=T- par lequel est dérivée la métrique du système gravitationnel de deux corps dans les dimensions 1+1 (c’est-à-dire une dimension spatiale et une dimension temporelle) pour le cas des masses (au repos) inégales - ainsi que les valeurs propres de l'énergie du système quantique qui est constitué du modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges inégales en une dimension.

• les solutions analytiques pour les valeurs propres de l'énergie d'un cas spécial de la version quantique du problème des trois corps, c’est-à-dire l’ion hydrogène moléculaire (en trois dimensions).

La partie de droite de (1) (ou (2)) est maintenant un quotient de « polynômes » d'ordre infini en x :

${\mathrm{e}}^{-cx}=a_o\frac{\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x-r_i)}{\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x-s_i)}(3)$

où r_i et s_i sont des constantes réelles distinctes et x est une fonction de la valeur propre de l'énergie et la distance internucléaire R. L'équation (3) avec ces cas spécialisés et exprimés dans (1) et (2) correspond à une classe considérable d'équations à délai différentiel. La « fausse dérivée » de Hardy fournit des racines exactes pour des cas spéciales de (3).

Les applications de la fonction W de Lambert dans les problèmes de la physique fondamentale ne sont pas épuisées même pour le cas standard exprimé dans (1), comme on vient de le voir dans les domaines de la physique atomique et moléculaire et aussi, le critère de Keiper-Li pour l'hypothèse de Riemann.

Références

• Modèle:Article ou là