Théorème d'inversion de Lagrange

Modèle:Homon En mathématiques, le théorème d'inversion de Lagrange fournit le développement en série de certaines fonctions définies implicitement ; la formule d'inversion de Lagrange, connue aussi sous le nom de formule de Lagrange-Bürmann, en est un cas particulier donnant le développement en série de Taylor de la bijection réciproque d'une fonction analytique.

Formule générale

Si Modèle:Mvar est une fonction de Modèle:Mvar, de Modèle:Mvar et d'une fonction Modèle:Mvar indéfiniment dérivable, telle que

$z=x+yf(z)$

alors pour toute fonction Modèle:Mvar indéfiniment dérivable, on a

$g(z)=g(x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{k-1}(f(x{)}^k{g}^{\prime }(x))$

pour Modèle:Mvar petit, si la série converge (voir plus loin pour la version formelle de cette identité).

Si Modèle:Mvar est la fonction identité on obtient alors

$z=x+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{k-1}(f(x{)}^k)$

Cas particuliers

Cas de la bijection réciproque

Si on prend Modèle:Math et Modèle:Math où Modèle:Mvar est une fonction analytique telle que Modèle:Math et Modèle:Math, on obtient la relation Modèle:Math et la formule d'inversion de Lagrange permet d'obtenir la série de Taylor de la fonction Modèle:Math, à savoir :

$z=h^{-1}(y)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{k-1}{\left(\frac{x}{h(x)}\right)}^k$

les dérivées étant calculées en Modèle:Math.

Plus précisément, soit Modèle:Mvar une fonction (de variable complexe) analytique au point Modèle:Mvar telle que Modèle:Math. On peut alors résoudre l'équation en Modèle:Mvar, Modèle:Math pour Modèle:Mvar appartenant à un voisinage de Modèle:Math, obtenant Modèle:Math, où Modèle:Mvar est analytique au point Modèle:Math. On dit que Modèle:Mvar est obtenu par inversion de série.

Le développement en série de Modèle:Mvar est donné par

$g(z)=a+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\underset{w\to a}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{w}^{n-1}}{\left(\frac{w-a}{f(w)-b}\right)}^n\right)\frac{(z-b{)}^n}{n!}\right).$

Cette formule est en fait valable pour des séries formelles, et peut se généraliser de diverses façons : pour des fonctions de plusieurs variables, pour le cas où Modèle:Math (l'inverse Modèle:Mvar étant alors une fonction multivaluée), et pour des extensions à des algèbres d'opérateurs, comme pour l'exponentielle ou le logarithme de matrices.

Ce théorème fut démontré par Lagrange et généralisé par Modèle:LienModèle:,Modèle:, à la fin du Modèle:S-. On peut l'obtenir à l'aide de la théorie (plus tardive) de l'intégrale de contour, mais c'est en réalité un résultat purement formel, dont on peut donner une preuve directe.

Formule de Lagrange-Bürmann

Un cas particulier du théorème, utilisé en combinatoire analytique, correspond à Modèle:Math et Modèle:Math. Prenant Modèle:Math et Modèle:Math, on obtient

$g(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\underset{w\to 0}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{w}^{n-1}}{\left(\frac{w}{w/\varphi (w)}\right)}^n\right)\frac{z^n}{n!}\right)$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{(n-1)!}\underset{w\to 0}{\lim }(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{w}^{n-1}}\varphi (w{)}^n)\right)z^n,$

ce qui peut aussi s'écrire

$[z^n]g(z)=\frac{1}{n}[w^{n-1}]\varphi (w{)}^n,$

où Modèle:Math désigne le coefficient de Modèle:Mvar dans l'expression qui le suit.

Une généralisation utile de cette formule est connue comme la formule de Lagrange–Bürmann :

$[z^n]H(g(z))=\frac{1}{n}[w^{n-1}](H^{\prime }(w)\varphi (w{)}^n)$,

où Modèle:Mvar peut être une série formelle ou une fonction analytique arbitraire, par exemple Modèle:Math.

Applications

Fonction W de Lambert

La fonction W de Lambert est la fonction Modèle:Math définie par l'équation implicite

$W(z){\mathrm{e}}^{W(z)}=z.$

Le théorème de Lagrange permet de calculer la série de Taylor de Modèle:Math près de Modèle:Math. Prenant Modèle:Math et Modèle:Math, on remarque que

$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{e}}^{\alpha x}={\alpha }^n{\mathrm{e}}^{\alpha x}$

ce qui donne

$\begin{array}{cc}W(z)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{w\to 0}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{w}^{n-1}}{\mathrm{e}}^{-nw}\right)\frac{z^n}{n!}\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{n-1}\frac{z^n}{n!}=z-z^2+\frac{3}{2}{z}^3-\frac{8}{3}{z}^4+\frac{125}{24}{z}^5-\cdots .\end{array}$

Le rayon de convergence de cette série est Modèle:Math (ce qui correspond à la branche principale de la fonction de Lambert).

On peut obtenir une série ayant un plus grand rayon de convergence par la même méthode : la fonction Modèle:Math vérifie l'équation

$1+f(z)+\ln (1+f(z))=z.$

Développant Modèle:Math en série et inversant celle-ci, on obtient pour Modèle:Math :

$\begin{array}{cc}W({\mathrm{e}}^{1+z})=1& +\frac{z}{2}+\frac{z^2}{16}-\frac{z^3}{192}-\frac{z^4}{3072}\\ & +\frac{13z^5}{61440}-\frac{47z^6}{1474560}-\frac{73z^7}{41287680}+\frac{2447z^8}{1321205760}+O(z^9).\end{array}$

Modèle:Math peut s'en déduire en substituant Modèle:Math à Modèle:Mvar dans cette série. Par exemple, prenant Modèle:Math, on trouve Modèle:Math à 10^-6 près.

Combinatoire analytique

Modèle:Article connexe Soit Modèle:Mvar le nombre d'arbres binaires (non étiquetés) ayant n nœuds.

Retirer la racine d'un arbre le décompose en deux arbres plus petits ; on en déduit que la fonction génératrice $B(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n{z}^n$vérifie l'équation fonctionnelle :

$B(z)=1+zB(z{)}^2.$

Posant Modèle:Math, cette équation se réécrit :

$z=\frac{C(z)}{(C(z)+1{)}^2}.$

On peut donc appliquer le théorème avec Modèle:Math :

$B_n=[z^n]C(z)=\frac{1}{n}[w^{n-1}](w+1{)}^{2n}=\frac{1}{n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1})=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}).$

On en déduit que Modèle:Mvar est le n-ème nombre de Catalan.

Voir aussi

Article connexe

• Formule de Faà di Bruno

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:Article sur l'équation du temps contenant une application à l'équation de Kepler
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