Fonction zêta de Weierstrass

Modèle:Confusion Modèle:Voir homonymes En mathématiques, les fonctions de Weierstrass sont des fonctions spéciales d'une variable complexe qui sont reliées à la fonction elliptique de Weierstrass $℘ (z)$ .

Fonction sigma de Weierstrass

La fonction sigma de Weierstrass associée à un réseau bidimensionnel $Λ \subset ℂ$ est définie comme le produit infini

σ (z : Λ) = z \prod_{w \in Λ ∖ {0}} (1 - \frac{z}{w}) e^{z / w + \frac{1}{2} {(z / w)}^{2}}

La fonction zêta de Weierstrass est définie par

ζ (z : Λ) = \frac{σ^{'} (z; Λ)}{σ (z; Λ)} = \frac{1}{z} + \sum_{w \in Λ^{*}} (\frac{1}{z - w} + \frac{1}{w} + \frac{z}{w^{2}})

La fonction est une dérivation logarithmique de la fonction sigma. La fonction zêta peut être ré-écrite comme :

ζ (z; Λ) = \frac{1}{z} - \sum_{k = 1}^{\infty} 𝒢_{2 k + 2} (Λ) z^{2 k + 1}

où $𝒢_{2 k + 2}$ est la série d'Eisenstein de poids 2k+2.

La dérivée de la fonction zêta est $- ℘ (z)$

La fonction êta de Weierstrass est définie par

η (w; Λ) = ζ (z + w; Λ) - ζ (z; Λ), pour tout z \in ℂ

et tout w dans le réseau

Λ

Cette fonction est bien définie, i.e. $ζ (z + w; Λ) - ζ (z; Λ)$ ne dépend que du vecteur w.

La fonction êta de Weierstrass ne doit pas être confondue avec la fonction êta de Dedekind.

La fonction Modèle:Mvar de Weierstrass est liée à la fonction zêta par :

℘ (z; Λ) = - ζ^{'} (z; Λ), \forall z \in ℂ

C'est une fonction elliptique paire d'ordre N=2 avec un pôle double en chaque point du réseau et aucun pôle ailleurs.