Forme de Legendre

En mathématiques, les formes de Legendre d'intégrales elliptiques sont un ensemble canonique de trois intégrales elliptiques auxquelles toutes les autres peuvent être réduitesModèle:Pas clair. Legendre a choisi le nom d'intégrales elliptiques car le deuxième type donne la longueur d'arc d'une ellipse de demi-grand axe unitaire et d'excentricité $k$ (l'ellipse étant définie paramétriquement par $x=\sqrt{1-k^2}\cos (t)$, $y=\sin (t)$ ).

Dans les temps modernes, les formes de Legendre ont été largement supplantées par un ensemble canonique alternatif, les Modèle:Lien.

Définition

LModèle:'intégrale elliptique incomplète du premier type est définie par :

$F(\varphi ,k)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-k^2{\sin }^2(t)}}\mathrm{d}t,$

le deuxième type comme

$E(\varphi ,k)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2(t)}\mathrm{d}t,$

et le troisième type comme

$\mathrm{\Pi }(\varphi ,n,k)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{1}{(1-n{\sin }^2(t))\sqrt{1-k^2{\sin }^2(t)}}\mathrm{d}t.$

L'argument n d'intégrale du troisième type est connu sous le nom de caractéristique, qui dans différentes conventions de notation peut apparaître comme le premier, le deuxième ou le troisième argument de Modèle:Math et est en outre parfois défini avec le signe opposé. L'ordre des arguments indiqué ci-dessus est celui de Gradshteyn et Ryzhik ainsi que Numerical Recipes . Le choix du signe est celui d'Abramowitz et Stegun ainsi que de Gradshteyn et Ryzhik, mais correspond au $\mathrm{\Pi }(\varphi ,-n,k)$ de Numerical Recipes.

Les intégrales elliptiques complètes respectives sont obtenues en réglant lModèle:'amplitude, $\varphi$, la limite supérieure des intégrales, à $\pi /2$.

La forme de Legendre d'une courbe elliptique est donnée par

$y^2=x(x-1)(x-\lambda ).$

Évaluation numérique

La méthode classique d'évaluation s'effectue au moyen des transformations de Landen. La transformation de Landen descendante diminue le module $k$ vers zéro, tout en augmentant l'amplitude $\varphi$. À l’inverse, la transformation ascendante augmente le module vers l’unité, tout en diminuant l’amplitude. Dans l'une ou l'autre limite de $k$ approchant zéro ou un, l'intégrale est facilement évaluée.

La plupart des auteurs modernes recommandent une évaluation en termes de Modèle:Lien, pour lesquelles il existe des algorithmes efficaces, robustes et relativement simples. Cette approche a été adoptée par les bibliothèques Boost C++, la bibliothèque scientifique GNU et Numerical Recipes.

Voir également

• Modèle:Lien