G-espérance

En théorie des probabilités, la g-espérance est une espérance non-linéaire définie à partir d'une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) introduite par Shige Peng.

Définition

Soit un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ avec $(W_t{)}_{t\ge 0}$ un processus de Wiener en dimension d (sur cet espace). Soit la filtration générée par $(W_t)$, i.e. ${ℱ}_t=\sigma (W_s:s\in [0,t])$, et soit $X$ une variable aléatoire ${ℱ}_T$ mesurable. Considérons l'EDSR donnée par:

$\begin{array}{cc}d{Y}_t& =g(t,Y_t,Z_t)dt-Z_{t}d{W}_t\\ Y_T& =X\end{array}$

Alors la g-espérance pour $X$ est donnée par ${𝔼}^g[X]:=Y_0$. Notons que si $X$ est un vecteur de dimension m, alors $Y_t$ (pour tout temps $t$) est un vecteur de dimension m et $Z_t$ est une matrice de taille $m\times d$.

En fait l'espérance conditionnelle est donnée par ${𝔼}^g[X\mid {ℱ}_t]:=Y_t$ et similairement à la définition formelle pour l'espérance conditionnelle il vient ${𝔼}^g[1_A{𝔼}^g[X\mid {ℱ}_t]]={𝔼}^g[1_{A}X]$ pour tout $A\in {ℱ}_t$ (où la fonction $1$ est la fonction indicatrice).

Existence et unicité

Soit $g:[0,T]\times {ℝ}^m\times {ℝ}^{m\times d}\to {ℝ}^m$ satisfaisant:

1. $g(\cdot ,y,z)$ est un ${ℱ}_t$-processus adapté pour tout $(y,z)\in {ℝ}^m\times {ℝ}^{m\times d}$
2. $\underset{0}{\overset{T}{\int }}|g(t,0,0)|dt\in L^2(\mathrm{\Omega },{ℱ}_T,\mathbb{P})$ l'espace L2 (où $|\cdot |$ est une norme dans ${ℝ}^m$)
3. $g$ est une application lipschitzienne en $(y,z)$, i.e. pour tout $y_1,y_2\in {ℝ}^m$ et $z_1,z_2\in {ℝ}^{m\times d}$ il vient $|g(t,y_1,z_1)-g(t,y_2,z_2)|\le C(|y_1-y_2|+|z_1-z_2|)$ pour une constante $C$

Alors pour toute variable aléatoire $X\in L^2(\mathrm{\Omega },{ℱ}_t,\mathbb{P};{ℝ}^m)$ il existe une unique paire de processus ${ℱ}_t$-adaptés $(Y,Z)$ qui vérifient l'équation différentielle stochastique rétrograde.

En particulier, si $g$ vérifie également:

1. $g$ est continue en temps ($t$)
2. $g(t,y,0)\equiv 0$ pour tout $(t,y)\in [0,T]\times {ℝ}^m$

alors pour la condition terminale $X\in L^2(\mathrm{\Omega },{ℱ}_t,\mathbb{P};{ℝ}^m)$ il suit que les processus solution $(Y,Z)$ sont de carré intégrable. Ainsi ${𝔼}^g[X|{ℱ}_t]$ est de carré intégrable pour tout temps $t$.

Voir aussi

• Espérance mathématique