Hiérarchie de Borel

Modèle:Voir homonymes La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique Modèle:Math comme une réunion croissante d'ensembles de parties de Modèle:Math, indexée par le premier ordinal non dénombrable.

Notations préliminaires

Soit $ℰ$ un ensemble de parties d'un ensemble Modèle:Math. On note :

• ${ℰ}_{\sigma }$ l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de $ℰ$ :Modèle:Retrait
• ${ℰ}_{\delta }$ l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de $ℰ$ :Modèle:Retrait

Les lettres grecques σ et δ représentent respectivement les mots allemands désignant la réunion (Modèle:Lang) et l'intersection (Modèle:Lang).

On note par ailleurs Modèle:Math le premier ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ensemble des ordinaux dénombrables.

Définition de la hiérarchie de Borel

Soient Modèle:Math un espace topologique métrisable, G l'ensemble de ses ouverts et F l'ensemble de ses fermés (F est l'initiale de « fermé », et G celle de « Modèle:Lang » : « Modèle:Lien » en allemand).

On initialise une induction transfinie sur l'ordinal Modèle:Math en notant :

${\mathrm{\Sigma }}_1^0=G\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathrm{\Pi }}_1^0=F.$

Puis, on définit alors par induction transfinie deux familles d'ensembles :

${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0={\left(\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathrm{\Pi }}_{\beta }^0\right)}_{\sigma }\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0={\left(\mathbf{\bigcap }_{\mathit{\beta }<\mathit{\alpha }}{\mathrm{\Sigma }}_{\beta }^0\right)}_{\delta }.$

Finalement pour chaque ordinal dénombrable Modèle:Math, on note :

${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0={\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0\cap {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0.$

Par exemple :

• Modèle:Math est l'ensemble des parties de Modèle:Math qui sont à la fois ouvertes et fermées ;
• Modèle:Math, également noté [[ensemble Fσ|FModèle:Ind]], est l'ensemble des unions dénombrables de fermés ;
• Modèle:Math, également noté [[ensemble Gδ|GModèle:Ind]], est l'ensemble des intersections dénombrables d'ouverts ;
• Modèle:Math, également noté GModèle:Ind, est l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de Modèle:Math = GModèle:Ind ;
• Modèle:Math, également noté FModèle:Ind, est l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de Modèle:Math = FModèle:Ind.

Les ensembles Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont respectivement appelés classes additives, multiplicatives et ambiguës. La famille ordonnée par inclusion formée par la totalité de ces classes (pour Modèle:Math) est appelée la hiérarchie de Borel.

Propriétés élémentaires

• Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables.
• Pour chaque ordinal dénombrable Modèle:Math, les éléments de Modèle:Math sont les complémentaires des éléments de Modèle:Math.
• Pour tout ordinal dénombrable Modèle:Math, Modèle:Math est une algèbre d'ensembles.
• Les classes de la hiérarchie de Borel sont emboitées les unes dans les autres comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les flèches symbolisant l'inclusion :

$\begin{array}{ccccccccc}& & {\mathrm{\Sigma }}_1^0& & & & {\mathrm{\Sigma }}_2^0& & \cdots \\ & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ {\mathrm{\Delta }}_1^0& & & & {\mathrm{\Delta }}_2^0& & & & \cdots \\ & \searrow & & \nearrow & & \searrow \\ & & {\mathrm{\Pi }}_1^0& & & & {\mathrm{\Pi }}_2^0& & \cdots \end{array}\begin{array}{cccccc}& & {\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0& & & \cdots \\ & \nearrow & & \searrow \\ {\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0& & & & {\mathrm{\Delta }}_{\alpha +1}^0& \cdots \\ & \searrow & & \nearrow \\ & & {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0& & & \cdots \end{array}$

• Dans Modèle:Math (espace métrisable), tout fermé est un GModèle:Ind (et, trivialement, un FModèle:Ind).
• Dans ℝ, ℚ est un FModèle:Ind (comme toute partie dénombrable d'un [[Espace T1|espace TModèle:Ind]]) donc ℝ\ℚ est un GModèle:Ind.
• Dans ℝ, ℚ n'est pas un GModèle:Ind. En effet, sinon — puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses — l'ensemble vide serait comaigre, ce qui contredirait le théorème de Baire.

Exhaustion de la tribu borélienne

Si l'on note $ℬ$ la tribu borélienne sur Modèle:Math, on peut montrer que :

$ℬ=\bigcup _{1\le \alpha <{\omega }_1}{\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0=\bigcup _{1\le \alpha <{\omega }_1}{\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0=\bigcup _{1\le \alpha <{\omega }_1}{\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0.$

Classes de Borel de fonctions

Une fonction Modèle:Math (avec Modèle:Math et Modèle:Math métrisables) est dite Borel-mesurable de classe Modèle:Math si pour tout ouvert Modèle:Math de Modèle:Math, [[Image réciproque|Modèle:Math]] appartient à la classe additive Modèle:Math de Modèle:Math ou encore : pour tout fermé Modèle:Math de Modèle:Math, Modèle:Math appartient à la classe multiplicative Modèle:Math.

Les fonctions de classe de Borel 0 sont donc les fonctions continues, tout comme les fonctions de classe de Baire 0.

Toute fonction de classe de Baire 1 est de classe de Borel 1, autrement dit : pour toute fonction Modèle:Math limite simple d'une suite de fonctions continues et tout ouvert Modèle:Math de Modèle:Math, Modèle:Math est un FModèle:Ind.

On démontre exactement de la même façonModèle:, que plus généralement, toute limite simple d'une suite de fonctions de classe de Borel Modèle:Math est de classe de Borel Modèle:Math.

On en déduit facilement que toute fonction de classe de Baire Modèle:Math est de classe de Borel Modèle:Math si l'ordinal Modèle:Math est fini, et Modèle:Math s'il est infini (en écrivant Modèle:Math avec Modèle:Math entier et Modèle:Math nul ou ordinal limite, et en raisonnant par récurrence et induction).

La réciproque est fausse en général, mais vraie si Modèle:Math = [[Topologie produit|[0, 1]Modèle:Exp]] avec κ fini ou dénombrable : c'est le théorème de Lebesgue-HausdorffModèle:,.

Notes et références

• Modèle:Ouvrage