Inégalité de Bernstein (probabilités)

Modèle:Voir homonymes L'inégalité de Bernstein est une inégalité de concentration démontrée par en 1926 par le mathématicien russe Sergueï Bernstein. Cette inégalité se base sur un majoration de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire, d'une manière similaire aux inégalités de Hoeffding ou de Chernoff. Cette majoration se fait grâce à une hypothèse sur les moments de la variable aléatoire en question.

Énoncé Général

L'énoncé le plus général de l'inégalité de Bernstein est donné ci-dessous. Cet énoncé peut se simplifier dans certains cas particuliers.

Modèle:Théorème

Cas de variables aléatoires bornées

Si les variables $X_i$ sont bornées alors, elles satisfont la condition des moments de l'inégalité de Bernstein.

Modèle:Théorème

Exemple: variables binaires

Soient $X_1,\cdots ,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernouilli avec probabilité de succès $p$. Alors, comme ces variables aléatoires sont bornées en valeur absolue par $1$, on a

$P(|X_1+\cdots +X_n|>\epsilon )\le 2e^{-\frac{{\epsilon }^2}{2V_n+2\epsilon /3}}$ où dans ce cas, $V_n=np(1-p)$, puisque les $X_i$ ont tous la même variance.

Si l'on préfère obtenir l'inégalité de concentration pour la moyenne empirique des $X_i$, il suffit de remarquer que $P(|\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)|>\epsilon )=P(|X_1+\cdots +X_n|>n\epsilon )$. On peut donc simplement remplacer $\epsilon$ par $n\epsilon$ dans l'expression précédente. On obtient, après simplification:

$P(|\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)|>\epsilon )\le 2e^{-\frac{n{\epsilon }^2}{2p(1-p)+2\epsilon /3}}$.

Voir aussi

• Inégalité d'Azuma
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
• Inégalité de Chernoff
• Inégalité de Hoeffding
• Inégalité de Markov