Inégalité de Carleman

Modèle:Ébauche

L'inégalité de Carleman est une inégalité démontrée par Torsten Carleman en 1922^[1] et reliant la somme des moyennes géométriques des $n$ premiers termes d'une série à termes positifs et la somme de cette série :

\sum_{n = 1}^{+ \infty} {(\prod_{k = 1}^{n} a_{k})}^{1 / n} ⩽ e \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} .

La [[E (nombre)|constante Modèle:Math]] est la meilleure possible. L'inégalité est stricte sauf pour la suite nulle.

Démonstration de l'inégalité

Soit pour tout $n \in ℕ^{*}$ , $c_{n} = \frac{(n + 1)^{n}}{n^{n - 1}}$ . Observons que $c_{1} c_{2} \dots c_{n} = (n + 1)^{n}$ , et que donc $(c_{1} c_{2} \dots c_{n})^{1 / n} = n + 1$ . Soit $N \in ℕ$ . Alors, d'après l'inégalité arithmético-géométrique,

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{N} {(\prod_{k = 1}^{n} a_{k})}^{1 / n} & = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n + 1} {(\prod_{k = 1}^{n} a_{k} c_{k})}^{1 / n} \\ ⩽ \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n (n + 1)} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} c_{k} . \end{matrix}

Une inversion de somme conduit alors à

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{N} {(\prod_{k = 1}^{n} a_{k})}^{1 / n} & ⩽ \sum_{k = 1}^{N} (\sum_{n = k}^{N} \frac{1}{n (n + 1)}) a_{k} c_{k} \\ = \sum_{k = 1}^{N} (\frac{1}{k} - \frac{1}{N + 1}) a_{k} c_{k} \\ ⩽ \sum_{k = 1}^{N} a_{k} \frac{c_{k}}{k} . \end{matrix}

Or la suite de nombres rationnels $\frac{c_{k}}{k} = (1 + \frac{1}{k})^{k}$ croît vers le nombre irrationnel [[E (nombre)|Modèle:Math]], donc $\frac{c_{k}}{k} < e$ pour tout $k ⩾ 1$ . D'où

\sum_{n = 1}^{N} {(\prod_{k = 1}^{n} a_{k})}^{1 / n} ⩽ e \sum_{k = 1}^{N} a_{k},

et cette inégalité est stricte lorsque N est assez grand, à moins que la suite $(a_{k})_{k ⩾ 1}$ ne soit identiquement nulle. L'inégalité de Carleman s'en déduit en faisant tendre N vers l'infini.

Si l'on considère

a_{n} : = {\begin{matrix} \frac{1}{n}, & si n ⩽ N, \\ 0, & si n > N, \end{matrix}

alors le membre de droite de l'inégalité de Carleman est égal à $e H_{N}$ où [[Nombre harmonique|Modèle:Math]] est le N-ième nombre harmonique, tandis que le membre de gauche admet, puisque ${(n!)}^{\frac{1}{n}} \sim \frac{n}{e}$ d'après la formule de Stirling, l'équivalent

\sum_{n = 1}^{N} {(n!)}^{- \frac{1}{n}} \sim e \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} = e H_{N}

lorsque $N \to \infty$ . Ceci montre que la constante $e$ est la meilleure possible.

Note et référence

Modèle:Références

Articles connexes

Modèle:Portail

↑ T. Carleman, « Sur les fonctions quasi-analytiques », Conférences faites au cinquième congrès des mathématiciens scandinaves tenu à Helsingfors du 4 au 7 juillet 1922, Modèle:P..

[1] T. Carleman, « Sur les fonctions quasi-analytiques », Conférences faites au cinquième congrès des mathématiciens scandinaves tenu à Helsingfors du 4 au 7 juillet 1922, Modèle:P..

[1]

Inégalité de Carleman

Démonstration de l'inégalité

Note et référence

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