Isomorphisme musical

En mathématiques, plus précisément en géométrie différentielle, l'isomorphisme musical (ou isomorphisme canonique ) est un isomorphisme entre le fibré tangent $\mathrm{T}M$ et le fibré cotangent ${\mathrm{T}}^{*}M$ d'une variété pseudo-riemannienne induite par son tenseur métrique. Il existe des isomorphismes similaires sur les variétés symplectiques. Le terme musical fait référence à l'utilisation des symboles $\mathrm{♭}$ (bémol) et $\mathrm{♯}$ (dièse)Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

En notation covariante et contravariante, il est également connu sous le nom d'indice d'élévation et d'abaissement.

Discussion

Soit Modèle:Formule une variété pseudo-riemannienne. Supposons que Modèle:Formule soit un repère tangent mobile (voir aussi repère lisse) pour le fibré tangent Modèle:Formule avec, comme repère dual (voir aussi base duale ), le co- repère mobile (un repère tangent mobile pour le fibré cotangent ${\mathrm{T}}^{*}M$ . Voir aussi coframe ) Modèle:Formule.

Ensuite, localement, nous pouvons exprimer la métrique pseudo-riemannienne (qui est un champ tensoriel Modèle:Formule -covariant symétrique et non dégénéré) sous la forme Modèle:Formule (où nous employons la convention de sommation d'Einstein).

Étant donné un champ vectoriel Modèle:Formule, nous définissons son bémol :

$X^{\mathrm{♭}}:=g_{ij}{X}^i{𝐞}^j=X_j{𝐞}^j.$

C'est ce qu'on appelle « abaisser un indice ». En utilisant la notation traditionnelle entre crochets en losange pour le produit scalaire défini par Modèle:Formule, nous obtenons la relation (un peu plus « transparente ») :

$X^{\mathrm{♭}}(Y)=⟨X,Y⟩$

pour tous les champs vectoriels Modèle:Mvar et Modèle:Mvar .

De même, étant donné un champ de covecteurs Modèle:Formule, on définit son « dièse » :

${\omega }^{\mathrm{♯}}:=g^{ij}{\omega }_i{𝐞}_j={\omega }^j{𝐞}_j,$

où Modèle:Formule sont les composantes du tenseur métrique inverse (données par les entrées de la matrice inverse de Modèle:Formule ). Prendre le dièse d'un champ de covecteurs s'appelle " élever un indice ". Dans la notation du produit interne, cela se lit

$⟨{\omega }^{\mathrm{♯}},Y⟩=\omega (Y),$

pour tout champ de covecteurs Modèle:Mvar et tout champ de vecteurs Modèle:Mvar.

Par cette construction, on a deux isomorphismes mutuellement inverses

$\mathrm{♭}:\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M,\mathrm{♯}:{\mathrm{T}}^{*}M\to \mathrm{T}M.$

Ce sont des isomorphismes de fibrés vectoriels et, par conséquent, nous avons, pour chaque Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar, des isomorphismes d'espace vectoriel mutuellement inverses entre Modèle:Formule et Modèle:Formule.

Extension aux produits tenseurs

Les isomorphismes musicaux peuvent également être étendus aux faisceaux

${⨂}^k\mathrm{T}M,{⨂}^k{\mathrm{T}}^{*}M.$

L'indice qui doit être augmenté ou abaissé doit être indiqué. Par exemple, considérons le Modèle:Nobr-champ tenseur Modèle:Formule. En élevant le deuxième indice, nous obtenons le Modèle:Nobr -champ tenseur.

$X^{\mathrm{♯}}=g^{jk}{X}_{ij}{\mathrm{e}}^i\otimes {\mathrm{e}}_k.$

Extension aux vecteurs-k et formes-k

Dans le contexte de l'algèbre extérieure, une extension des opérateurs musicaux peut être définie sur Modèle:Formule et son dual Modèle:Formule, qui avec un abus mineur de notation, peut être noté identique, et sont à nouveau des inverses mutuels : Modèle:Sfn

$\mathrm{♭}:\bigwedge V\to {\bigwedge }^{*}V,\mathrm{♯}:{\bigwedge }^{*}V\to \bigwedge V,$

Défini par

$(X\wedge \dots \wedge Z{)}^{\mathrm{♭}}=X^{\mathrm{♭}}\wedge \dots \wedge Z^{\mathrm{♭}},(\alpha \wedge \dots \wedge \gamma {)}^{\mathrm{♯}}={\alpha }^{\mathrm{♯}}\wedge \dots \wedge {\gamma }^{\mathrm{♯}}.$

Dans cette extension, dans laquelle un bémol fait correspondre les p-vecteurs aux p-covecteurs et un dièse fait correspondre les p-covecteurs aux p-vecteurs, tous les indices d'un tenseur totalement antisymétrique sont simultanément élevés ou abaissés, donc aucun indice n'a besoin d'être indiqué :

$Y^{\mathrm{♯}}=(Y_{i\dots k}{𝐞}^i\otimes \dots \otimes {𝐞}^k{)}^{\mathrm{♯}}=g^{ir}\dots g^{kt}{Y}_{i\dots k}{𝐞}_r\otimes \dots \otimes {𝐞}_t.$

Trace d'un tenseur à travers un tenseur métrique

Étant donné un champ tensoriel de type Modèle:Nobr Modèle:Formule, on définit la trace de Modèle:Mvar à travers le tenseur métrique Modèle:Mvar par

${\mathrm{tr}}_g(X):=\mathrm{tr}(X^{\mathrm{♯}})=\mathrm{tr}(g^{jk}{X}_{ij}{𝐞}^i\otimes {𝐞}_k)=g^{ji}{X}_{ij}=g^{ij}{X}_{ij}.$

Remarquons que la définition de trace est indépendante du choix de l'indice à relever, puisque le tenseur métrique est symétrique.

Articles connexes

• Dualité (mathématiques)
• Hausse et baisse des indices
• Espaces duaux, voir § Dual space
• Dual de Hodge
• Fibrés vectoriels
• Bémol (musique) et dièse (musique) sur les signes Modèle:Musique et Modèle:Musique

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
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