Lemme de Hensel

Modèle:Ébauche En mathématiques, le lemme de Hensel, est un résultat permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Il doit son nom au mathématicien du début du Modèle:S- Kurt Hensel. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton.

La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont ℤModèle:Ind (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets.

Énoncés

On considère un polynôme P à coefficients dans ℤModèle:Ind (l'anneau des entiers p-adiques, avec p premier).

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe ${\alpha }_0\in {\mathbb{Z}}_p$ tel que Modèle:Retrait alors, il existe $\alpha \in {\mathbb{Z}}_p$ tel que Modèle:Retrait

Plus généralement, si un anneau noethérien A est complet pour la topologie I-adique pour un certain idéal I et si P est un polynôme à coefficients dans A alors, tout élément αModèle:Ind de A tel que, modulo I, P(αModèle:Ind) soit nul et [[Polynôme formel#Dérivée formelle|PModèle:'(αModèle:Ind)]] soit inversible, se relève de façon unique en une racine de P dans A.

La condition $P^{\prime }({\alpha }_0)\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)$ est essentielle. Ainsi, l'équation $X^5=2$ n'a pas de solution dans ${\mathbb{Z}}_5$ (une telle solution $a$ devrait être congrue à 2 modulo 5 ; posant $a=2+5x$, on aurait donc $2=(2+5x{)}^5=32+5\times 16\times 5x+10\times 8\times (5x{)}^2+\cdots$, ce qui est absurde, puisque 30 n'est pas divisible par 25), alors qu'elle en a une dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, puisque $2^5-2$ est divisible par 5 ; cela s'explique car $P^{\prime }(X)$ est identiquement nul dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$.

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe ${\alpha }_0\in {\mathbb{Z}}_p$ tel que, pour un certain entier Modèle:Math, on ait Modèle:Retrait alors, il existe $\alpha \in {\mathbb{Z}}_p$ tel que Modèle:Retrait

Lemme de Hensel version 3.

Soient K un corps valué non archimédien complet, |∙| une valeur absolue sur K associée à sa valuation, OModèle:Ind son anneau des entiers, Modèle:Math ∈ OModèle:Ind[X] et Modèle:Math un élément de OModèle:Ind tel queModèle:RetraitAlors :

• la suite $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $x_0:=x$ et la formule de récurrence : $x_{n+1}:=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$ est bien définie et vérifieModèle:Retrait
• elle converge dans OModèle:Ind vers une racine Modèle:Math de Modèle:Math etModèle:Retrait
• Modèle:Math est la seule racine de Modèle:Math dans la boule ouverte de OModèle:Ind de centre Modèle:Math et de rayon Modèle:Math.

Lemme de Hensel version 4.

Tout anneau local complet est hensélien, c'est-à-dire, A désignant cet anneau et k son corps résiduel, que si un polynôme unitaire f ∈ A[X] a pour image dans k[X] un produit de deux polynômes Modèle:Surligner et Modèle:Surligner premiers entre eux, alors Modèle:Surligner et Modèle:Surligner se relèvent en deux polynômes de A[X] de produit f.

Ce lemme « de Hensel » a été démontré par Theodor Schönemann en 1846.

Applications

Le lemme de Hensel est applicable à une grande variété de situations.

Famille d'idempotents orthogonaux

En effet, les idempotents sont les racines du polynôme P(X) := XModèle:2 – X, et si P(e) est nul alors P Modèle:' (e) est son propre inverse. Or Modèle:Lien pour la topologie MB-adique, ce qui permet, grâce au lemme de Hensel (version 1 ci-dessus) de relever chaque idempotent de B/MB en un idempotent de B. Enfin, si deux idempotents de B sont orthogonaux modulo MB, alors ils le sont dans l'absolu : leur produit x est nul car (par complétude) 1 – x est inversible, or x(1 – x) = 0.

Factorisation des polynômes à coefficients entiers

Les algorithmes de factorisation de polynômes à coefficients entiers en facteurs irréductibles utilisent d’abord une factorisation dans un corps fini ${𝔽}_p$ qu’il faut ensuite remonter dans l’anneau $\mathbb{Z}{/}_{p^{2^k}\mathbb{Z}}$ pour un certain k de $\mathbb{N}$. Cette remontée se fait grâce à un cas particulier du lemme de Hensel, énoncé ci-dessous :

L'algorithme suivant permet de construire les polynômes $G_k,H_k,U_k,$ et $V_k$ du lemme.

Entrée : p un nombre premier, k un entier, $P,G,H,U,V$ des polynômes avec $P=GH[p]$ et $GU+HV=1[p]$ 
Sortie : $G,H,U,V$ tels que $P=GH[p^{2^k}]$ et $GU+HV=1[p^{2^k}]$

Pour i = 1 à k-1
  $R\leftarrow \frac{P-GH}{p^{2^i}}$
  $H\leftarrow H+p^{2^i}$*Div_Euclide$(UR,H)$
  $G\leftarrow G+p^{2^i}$*Div_Euclide$(VR,G)$
  $U\leftarrow$Div_Euclide$(2U-U^{2}G,H)$
  $V\leftarrow$Div_Euclide$(2V-V^{2}H,G)$
retourne $(G,H,U,V)$