Limite supérieure et limite inférieure

Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite (xModèle:Ind)Modèle:Ind est représentée en bleu.

En mathématiques, plus précisément en analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.

Définitions

Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans ℝ, ou même [[Droite réelle achevée|Modèle:Surligner = ℝ Modèle:Math]].

Les suites définies par

$v_n=\sup \{u_k\mid k\ge n\}\text{ et }{w}_n=\inf \{u_k\mid k\ge n\}$

sont respectivement décroissante et croissante. [[théorème de la limite monotone|Elles admettent donc une limite dans Modèle:Surligner]], ce qui permet de poserModèle:, :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{u}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{v}_n\text{ et }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{u}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{w}_n,$

ou, ce qui est équivalent :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{u}_n=\inf \{v_n\mid n\in \mathbb{N}\}\text{ et }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{u}_n=\sup \{w_n\mid n\in \mathbb{N}\}.$

Ces nombres sont appelés limite supérieure et limite inférieure de la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

On rencontre aussi les notations $\bar{\lim }$ ou$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}$pour la limite supérieure et $\underset{\_}{\lim }$ ou$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\underset{\_}{\lim }}$pour la limite inférieure.

Remarque

Pour tout Modèle:Math, $w_n\le u_n\le v_n$. La suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est donc :

• majorée par un réel si et seulement si $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{u}_n<+\mathrm{\infty }$ ;
• minorée par un réel si et seulement si $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{u}_n>-\mathrm{\infty }$.

Exemples

• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(-1{)}^n=1,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(-1{)}^n=-1$.
• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sin n=1,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\sin n=-1$.

Propriétés

• Les limites inférieure et supérieure d'une suite Modèle:Mvar à valeurs dans le compact Modèle:Surligner sont respectivement sa plus petite et sa plus grande valeur d'adhérence, autrement dit, par exemple pour la limite supérieure Modèle:Math de Modèle:Math :
  • Pour tout Modèle:Math, il n'y a qu'un nombre fini de Modèle:Math tels que Modèle:Math.
    En effet, la convergence vers Modèle:Math de la suite Modèle:Math montre que Modèle:Math pour Modèle:Math assez grand, et pour un tel Modèle:Math on a :Modèle:Retrait
  • Pour tout Modèle:Math, il y a une infinité de Modèle:Math tels que Modèle:Math.
    En effet, pour tout Modèle:Math, Modèle:Math. D'après la définition même de la borne supérieure (plus petit des majorants), il existe Modèle:Math tel que Modèle:Math.

• D'après le point précédent, les limites inférieure et supérieure d'une suite sont égales si et seulement si la suite admet une limite (finie ou infinie), et la limite est alors cette valeur commune.
• Somme et produit. Soit $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}},(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in \overline{ℝ}{}^{\mathbb{N}}$.
  • Somme

    $\underset{\_}{\lim }{a}_n+\underset{\_}{\lim }{b}_n\le \underset{\_}{\lim }(a_n+b_n)\le \underset{\_}{\lim }{a}_n+\bar{\lim }{b}_n\le \bar{\lim }(a_n+b_n)\le \bar{\lim }{a}_n+\bar{\lim }{b}_n$.

  • Produit pour des suites réelles positives à partir d'un certain rang

    $\underset{\_}{\lim }{a}_n\bar{\lim }{b}_n\le \bar{\lim }(a_n{b}_n)\le \bar{\lim }{a}_n\bar{\lim }{b}_n.$

• Produit par un réel $a$.
  • Si $a\ge 0$, $\underset{\_}{\lim }(a{u}_n)=a\underset{\_}{\lim }{u}_n$ et $\bar{\lim }(a{u}_n)=a\bar{\lim }{u}_n$.
  • Si $a\le 0$, $\underset{\_}{\lim }(a{u}_n)=a\bar{\lim }{u}_n$ et $\bar{\lim }(a{u}_n)=a\underset{\_}{\lim }{u}_n$.
• (Plus généralement) : composition par une fonction continue monotone $f:\overline{ℝ}\to \overline{ℝ}$.
  • Si $f$ est croissante alors $\underset{\_}{\lim }f(u_n)=f(\underset{\_}{\lim }{u}_n)$ et $\bar{\lim }f(u_n)=f(\bar{\lim }{u}_n)$.
  • Si $f$ est décroissante alors $\underset{\_}{\lim }f(u_n)=f(\bar{\lim }{u}_n)$ et $\bar{\lim }f(u_n)=f(\underset{\_}{\lim }{u}_n)$.

  En effet, si $f$ est continue croissante alors elle commute aux bornes supérieure et inférieure, et si $f$ est décroissante, alors $-f$ est croissante, or le passage aux opposés intervertit bornes supérieure et inférieure.

Application : formule de Cauchy-Hadamard

La formule de Hadamard donne l'expression du rayon de convergence Modèle:Math d'une série entière $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ en termes d'une limite supérieure : Modèle:Retrait Cette formule découle de l'application de la règle de Cauchy.

Généralisations

On peut généraliser la notion de suite numérique et de ses limites supérieure et inférieure dans deux directions : en modifiant l'ensemble ℝ dans lequel la suite prend ses valeurs ou l'ensemble ℕ des indices.

Suites dans un treillis complet

La définition des limites supérieure et inférieure pour une suite numérique correspond à la relation d'ordre sur la droite réelle achevée, mais s'applique encore pour une suite à valeurs dans n'importe quel treillis complet, c'est-à-dire n'importe quel ensemble ordonné où toute partie possède une borne supérieure et une borne inférieure :

$\mathrm{lim\; sup}{u}_n=\underset{n}{\inf }\left(\underset{k\ge n}{\sup }{u}_k\right)\text{et}\mathrm{lim\; inf}{u}_n=\underset{n}{\sup }\left(\underset{k\ge n}{\inf }{u}_k\right).$

Modèle:Ancre En particulier dans le treillis de l'ensemble des parties d'un ensemble (ordonné par l'inclusion), $\mathrm{lim\; sup}$ et $\mathrm{lim\; inf}$ sont définies pour une suite $(A_n{)}_{n\ge 0}$ de parties par :

$\mathrm{lim\; sup}{A}_n={\cap }_n\left({\cup }_{k\ge n}{A}_k\right)\text{et}\mathrm{lim\; inf}{A}_n={\cup }_n\left({\cap }_{k\ge n}{A}_k\right).$

On peut remarquer que la fonction indicatrice de la limite supérieure de la suite $(A_n)$ est égale à la limite supérieure de la suite des fonctions indicatrices des $A_n$, et de même pour les limites inférieures.

$\mathrm{lim\; sup}{A}_n$ est l'ensemble des $x\in E$ qui appartiennent à $A_n$ pour une infinité d'indices $n$, et $\mathrm{lim\; inf}{A}_n$ est l'ensemble des $x\in E$ qui appartiennent à tous les $A_n$ à partir d'un certain rang. Ces notions jouent un rôle important en calcul des probabilités, dans la démonstration de la loi forte des grands nombres. Voir par exemple le lemme de Borel-Cantelli.

Suites généralisées

La définition des limites supérieure et inférieure d'une suite (à valeurs dans Modèle:Surligner) s'étend telle quelle à une suite généralisée, c'est-à-dire à une famille (uModèle:Ind)Modèle:Ind d'éléments de Modèle:Surligner indexée par un ensemble ordonné filtrant $I$ qui n'est plus nécessairement l'ensemble des entiers naturels :

$\mathrm{lim\; sup}{u}_i=\underset{i\in I}{\inf }\left(\underset{k\ge i}{\sup }{u}_k\right)\text{et}\mathrm{lim\; inf}{u}_i=\underset{i\in I}{\sup }\left(\underset{k\ge i}{\inf }{u}_k\right).$

Plus généralement, si $X$ est un ensemble muni d'un filtre ℱ, les limites supérieure et inférieure suivant ce filtre d'une fonction $f$ de $X$ dans Modèle:Surligner sont définies par :

$\underset{ℱ}{\mathrm{lim\; sup}}f=\underset{V\in ℱ}{\inf }(\underset{x\in V}{\sup }f(x))\text{et}\underset{ℱ}{\mathrm{lim\; inf}}f=\underset{V\in ℱ}{\sup }(\underset{x\in V}{\inf }f(x))$

et l'on peut, dans les seconds membres, remplacer le filtre ℱ par l'une quelconque de ses bases.

Modèle:Ancre En particulier, si $f:X\to ℝ$ est une fonction numérique définie sur un espace topologique, on peut définir $\underset{x\to a}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)$.

Pour bien voir ces deux notions. Dans le cas d'une fonction $f$ $:ℝ\to ℝ$, on peut les définir comme suit :

$\underset{x\to a}{\mathrm{lim\; inf}}f=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\inf \{f(x):x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]\}\text{et}\underset{x\to a}{\mathrm{lim\; sup}}f=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\sup \{f(x):x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]\}$

Cela permet par exemple de définir les nombres dérivés d'une fonction $f:ℝ\to ℝ$. Ce sont les « nombres » (éventuellement égaux à Modèle:Math)

$\begin{array}{cc}\underset{h\to 0^{+}}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},& \underset{h\to 0^{+}}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\\ \underset{h\to 0^{-}}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},& \underset{h\to 0^{-}}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\end{array}$