Méthode des moments (probabilité)

Modèle:Voir homonymes En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, la méthode des moments consiste à prouver une convergence en loi en démontrant la convergence de tous les moments.

Soit X une variable aléatoire réelle dont tous les moments existent, c'est-à-dire

$\mathrm{E}|X^k|<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }k\ge 1$.

Supposons que la loi de X soit complètement déterminée par ses moments, c'est-à-dire que si Y est une autre variable aléatoire telle que

$𝔼[X^k]=𝔼[Y^k]\mathrm{\forall }k\ge 1$

alors X et Y ont la même loi.

Sous ces conditions, si (X_n) est une suite de variables aléatoires telle que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{E}[X_n^k]=\mathrm{E}[X^k]$

pour toutes les valeurs de k, alors la suite (X_n) converge en loi vers X.

La méthode des moments a été introduite par Pafnuty Chebyshev pour prouver le théorème central limite ; Chebyshev a cité des contributions antérieures d'Irénée-Jules Bienaymé. Plus récemment, elle a été appliquée par Eugene Wigner pour prouver la loi du demi-cercle et a depuis trouvé de nombreuses applications dans la théorie des matrices aléatoires.

Voir aussi

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