Module d'élasticité isostatique

Modèle:À recycler Le module d'élasticité isostatique (Modèle:En anglais) est la constante qui relie la contrainte au taux de déformation d'un matériau isotrope soumis à une compression isostatique.

Expression

Généralement noté $K$ ($B$ en anglais), le module d'élasticité isostatique permet d'exprimer la relation de proportionnalité entre le premier invariant du tenseur des contraintes et le premier invariant du tenseur des déformations :

Module d'élasticité isostatique de quelques matériaux
Air	Modèle:Unité (isotherme) (Modèle:Unité en adiabatique)
Eau	Modèle:Unité (augmente avec la pression)
Verre	35 à Modèle:Unité
Acier	Modèle:Unité
Diamant	Modèle:Unité

$s=Ke$

où :

• $s=\sum _i\frac{1}{3}{\sigma }_{ii}$ est la contrainte isostatique (en unité de pression) ;
• $K$ est le module d'élasticité isostatique (en unité de pression) ;
• $e=\sum _i{\epsilon }_{ii}={\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}$ est le taux de déformation isostatique (sans dimension).

Il s'exprime, respectivement vis-à-vis des coefficients de Lamé ou du module de Young et du coefficient de Poisson, par :

$K=\lambda +\frac{2}{3}\mu =\frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu )}$.

Notes :

• pour $\nu =1/3$, $K=E$ ;
• pour $\nu \to 1/2$, $K\to +\mathrm{\infty }$ (incompressibilité).

Les matériaux métalliques sont proches du premier cas ($K\approx E$ dans leur domaine élastique) alors que les élastomères s'approchent d'un comportement incompressible ($K\gg E$).

On peut aussi exprimer $K$ en fonction des modules d'élasticité en traction $E$ et en cisaillement $G$ :

$\frac{1}{K}=\frac{9}{E}-\frac{3}{G}$.

Le module d'élasticité isostatique représente la relation de proportionnalité entre la pression et le taux de variation du volume :

$\mathrm{\Delta }P=-K\frac{\mathrm{\Delta }V}{V_0}$.

C'est l'inverse de la compressibilité isotherme ${\chi }_T$, définie en thermodynamique par :

$\frac{1}{K}={\chi }_T=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_T$

Voir aussi

Bibliographie

• P. Germain, Mécanique des milieux continus, 1962, Masson et Cie.
• G. Duvaut, Mécanique des milieux continus, 1990, Masson.

Articles connexes

• Coefficients calorimétriques et thermoélastiques
• Dynamique des fluides
• Écoulement incompressible
• Fluide incompressible
• Relation de Reech