Relation de Reech

En physique, et plus particulièrement en thermodynamique, la relation de Reech lie, pour un corps quelconque, le rapport de ses capacités thermiques au rapport de ses coefficients de compressibilité. Cette relation s'écrit :

Relation de Reech : $\gamma =\frac{C_P}{C_V}=\frac{{\chi }_T}{{\chi }_S}$

avec :

• $\gamma$ le coefficient de Laplace, utilisé dans la loi de Laplace ;
• $C_P$ la capacité thermique isobare ;
• $C_V$ la capacité thermique isochore ;
• ${\chi }_T$ le coefficient de compressibilité isotherme ;
• ${\chi }_S$ le coefficient de compressibilité isentropique.

Cette relation porte le nom de Frédéric Reech, mathématicien et physicien français qui l'établit au Modèle:S-.

Démonstration

Par définition :

$\gamma =\frac{C_P}{C_V}$

$C_P=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P$

$C_V=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V$

${\chi }_T=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_T$

${\chi }_S=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_S$

avec :

• $T$ la température ;
• $P$ la pression ;
• $V$ le volume ;
• $S$ l'entropie.

On a donc :

$\gamma =\frac{C_P}{C_V}=\frac{{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P}{{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V}$

En considérant les relations :

${\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P{\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)}_S{\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)}_T=-1$

${\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_S{\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)}_T=-1$

on a :

$\gamma =\frac{{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_S{\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)}_T}{{\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)}_S{\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)}_T}=\frac{{\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)}_T{\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)}_T}{{\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)}_S{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_S}=\frac{{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_T}{{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_S}$

On obtient donc la relation de Reech :

Relation de Reech : $\gamma =\frac{C_P}{C_V}=\frac{{\chi }_T}{{\chi }_S}$

Modèle:Boîte déroulante

Application à la détermination du coefficient de Laplace

À partir des isentropes et des isothermes

Courbes isothermes et isentropes dans un diagramme de Clapeyron
Le volume est porté en abscisse (axe horizontal), la pression est portée en ordonnée (axe vertical). Les courbes isentropes sont représentées en noir, les courbes isothermes en rouge.

Dans un diagramme où le volume $V$ est porté en abscisse et la pression $P$ en ordonnée (diagramme de Clapeyron ou diagramme $PV$, voir figure ci-contre), on peut, entre autres, tracer pour un corps quelconque deux familles de courbes de l'évolution de $P$ en fonction de $V$ :

• les courbes isothermes, c'est-à-dire les courbes d'évolution à température constante ;
• les courbes isentropes, c'est-à-dire les courbes d'évolution à entropie du corps constante.

En un point de coordonnées $(V,P)$ quelconque, on a :

• la pente de l'isotherme passant par ce point : $p_T={\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_T$ ;
• la pente de l'isentrope passant par ce point : $p_S={\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_S$.

Ainsi :

$\gamma =\frac{C_P}{C_V}=\frac{{\chi }_T}{{\chi }_S}=\frac{{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_T}{{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_S}=\frac{\frac{1}{p_T}}{\frac{1}{p_S}}=\frac{p_S}{p_T}$

Graphiquement, on peut donc déterminer $\gamma$ pour un couple $(V,P)$ quelconque à partir des courbes isotherme et isentrope passant par ce point dans un diagramme de Clapeyron :

$\gamma (V,P)=\frac{\text{pente de l'isentrope}}{\text{pente de l'isotherme}}$

La pente d'une isentrope en un point donné étant supérieure à celle de l'isotherme passant par le même point $\gamma >1$, soit $C_P>C_V$. Ceci est également prouvé par la relation de Mayer.

À partir de la vitesse du son

Soit $c$ la vitesse du son dans un milieu fluide (gaz ou liquide) homogène de masse volumique $\rho$, on a la relation :

$c=\sqrt{{\left(\frac{\partial P}{\partial \rho }\right)}_S}$

avec $S$ l'entropie. Pour une masse $m$ de milieu de volume $V$ :

$\rho =\frac{m}{V}$

${\left(\frac{\partial P}{\partial \rho }\right)}_S=\frac{1}{m}{\left(\frac{\partial P}{\partial \frac{1}{V}}\right)}_S=\frac{1}{m}{\left(\frac{\partial V}{\partial \frac{1}{V}}\right)}_S{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_S=-\frac{V^2}{m}{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_S=-\frac{V}{\rho }{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_S=\frac{1}{\rho {\chi }_S}$

avec, par définition :

${\chi }_S=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_S$

On a donc, avec la relation de Reech :

$c=\sqrt{\frac{1}{\rho {\chi }_S}}=\sqrt{\frac{\gamma }{\rho {\chi }_T}}$

Si l'on connait la vitesse du son $c$ dans le milieu, si l'on connait le coefficient de compressibilité isotherme ${\chi }_T$ et la masse volumique $\rho$ du milieu (qui peuvent tous deux être déterminés expérimentalement ou à partir d'une équation d'état), alors on peut calculer le coefficient de Laplace $\gamma$ :

$\gamma =c^2\rho {\chi }_T$

Exemple

Dans les conditions normales de température et de pression (CNTP), soit $T$ = Modèle:Unité et $P$ = Modèle:Unité = Modèle:Unité, on a pour l'air sec :

• $c$ = Modèle:Unité/2,
• $\rho$ = Modèle:Unité/2,
• ${\chi }_T=\frac{1}{P}$, l'air dans les CNTP pouvant être considéré comme un gaz parfait.

On a ainsi :

$\gamma =\frac{331^2\cdot 1,292}{101325}\approx 1,3970$

On trouve $\gamma =1,4028$ dans la littérature.

Notes et références

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Articles connexes

• Capacité thermique isobare
• Capacité thermique isochore
• Coefficients calorimétriques et thermoélastiques
• Compressibilité
• Indice adiabatique
• Relation de Mayer