Moyenne de Heinz

En mathématiques, la moyenne de Heinz, portant le nom du mathématicien allemand E. Heinz, de deux nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, est définie par la formule :

${\mathrm{H}}_x(a,b)=\frac{a^x{b}^{1-x}+a^{1-x}{b}^x}{2},$

pour $0⩽x⩽1/2$.

Pour $x$ variant de $0$ à $1/2$ la moyenne de Heinz constitue une formule d'interpolation continue et décroissante entre les moyennes arithmétique et géométrique ; plus précisément, pour $0<x<x^{\prime }<1/2$, on a :

$\sqrt{ab}={\mathrm{H}}_{\frac{1}{2}}(a,b)<{\mathrm{H}}_{x^{\prime }}(a,b)<{\mathrm{H}}_x(a,b)<{\mathrm{H}}_0(a,b)=\frac{a+b}{2}.$

Cette moyenne peut aussi être définie de façon similaire pour les matrices semi-définies positives et constitue alors une formule d'interpolation similaire à celle ci-dessus.

Propriétés

Composition

Pour deux nombres x et y, la composée :

${\mathrm{H}}_x({\mathrm{H}}_y(a,b),{\mathrm{H}}_y(a,b))$

est aussi une moyenne de Heinz.

Voir aussi

• Moyenne
• Inégalité de Muirhead
• Inégalité arithmético-géométrique