Nombre hyperharmonique

En mathématiques, le n-ième nombre hyperharmonique d'ordre $r$, noté $H_n^{(r)}$, est défini par les relations de récurrence :

$H_n^{(0)}=\frac{1}{n}$, et $H_n^{(r)}=\sum _{k=1}^n{H}_k^{(r-1)}(r>0)$.

En particulier, $H_n=H_n^{(1)}$ est le n-ème nombre harmonique.

Les nombres hyperharmoniques ont été étudiés par JH Conway et RK Guy dans leur livre de 1995 The Book of NumbersModèle:SfnModèle:Rp.

Identités impliquant des nombres hyperharmoniques

Par définition, les nombres hyperharmoniques vérifient la relation de récurrence

$H_n^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_n^{(r-1)}.$

Plutôt que d'utiliser les relations de récurrence, il existe une formule plus efficace pour calculer ces nombres :

$H_n^{(r)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r-1})(H_{n+r-1}-H_{r-1}).$

Les nombres hyperharmoniques ont une relation étroite avec la combinatoire des permutations. L'identité

$H_n=\frac{1}{n!}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right].$

se généralise en

$H_n^{(r)}=\frac{1}{n!}{\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r}{r+1}\right]}_r,$

où ${\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right]}_r$ est le nombre de r-Stirling de première espèce.

L'expression ci-dessus avec des coefficients binomiaux donne facilement que pour tout ordre fixe $r\ge 2$, on a l'équivalent :

$H_n^{(r)}\sim \frac{1}{(r-1)!}(n^{r-1}\ln (n)),$

c'est-à-dire que le quotient des côtés gauche et droit tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

Une conséquence immédiate est que

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n^{(r)}}{n^m}<+\mathrm{\infty }$

pour $m>r$.

Fonction génératrice et séries infinies

La fonction génératrice des nombres hyperharmoniques est

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n^{(r)}{z}^n=-\frac{\ln (1-z)}{(1-z{)}^r}.$

La fonction génératrice exponentielle est beaucoup plus difficile à déduire. On a, pour tout $r=1,2,\dots$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n^{(r)}\frac{t^n}{n!}={\mathrm{e}}^t(\sum _{n=1}^{r-1}{H}_n^{(r-n)}\frac{t^n}{n!}+\frac{(r-1)!}{(r!{)}^2}{t}^r{\times }_2{F}_2(1,1;r+1,r+1;-t)),$

où ₂F₂ est une fonction hypergéométrique. Le cas $r=1$ pour les nombres harmoniques est un résultat classique, le résultat général a été prouvé en 2009 par I. Mező et A. Dil.

La relation suivante relie les nombres hyperharmoniques à la fonction zêta de Hurwitz :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n^{(r)}}{n^m}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{H}_n^{(r-1)}\zeta (m,n)(r\ge 1,m\ge r+1).$

Nombres hyperharmoniques entiers

On sait que les nombres harmoniques ne sont jamais des entiers sauf dans le cas $n=1$. La même question peut être posée sur l'existence de nombres hyperharmoniques entiers. István Mező a prouvé que si $r=2$ ou $r=3$, ces nombres ne sont jamais des nombres entiers sauf dans le cas trivial où $n=1$. Il a supposé que c'était toujours le cas, à savoir que les nombres hyperharmoniques d'ordre $r$ ne sont jamais des entiers sauf lorsque $n=1$. Cette conjecture a été justifiée pour une classe de paramètres par R. Amrane et H. Belbachir. Surtout, ces auteurs ont prouvé que $H_n^{(4)}$ n'est pas entier pour tout $r<26$ et $n=2,3,\dots$ L'extension aux ordres plus élevés a été réalisée par Göral et Sertbaş. Ces auteurs ont également montré que $H_n^{(r)}$ n'est jamais entier lorsque $n$ est pair ou une puissance première, ou lorsque $r$ est impair.

Un autre résultat est le suivant. Soit $S(x)$ le nombre de nombres hyperharmoniques non entiers tels que $(n,x)\in [0,x]\times [0,x]$. Alors, en supposant la conjecture de Cramér,

$S(x)=x^2+O(x{\log }^{3}x).$

Il faut noter que le nombre entier de points du réseau dans $[0,x]\times [0,x]$ est $x^2+O(x^2)$, ce qui montre que la plupart des nombres hyperharmoniques ne peuvent pas être entiers.

Le problème a finalement été résolu par DC Sertbaş qui a découvert qu'il existe une infinité d'entiers hyperharmoniques, bien qu'ils soient assez grands. Le plus petit nombre hyperharmonique qui est un entier trouvé jusqu'à présent est

$H_{33}^{(64(2^{2659}-1)+32)}.$

Voir aussi

Articles connexes

• Nombre harmonique

Bibliographie

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