Norme asymétrique

En mathématiques, une norme asymétrique sur un espace vectoriel est une généralisation du concept de norme.

Définition

Une norme asymétrique sur un espace vectoriel réel $X$ est une fonction $p:X\to [0,+\mathrm{\infty }[$ qui est :

• sous-additive, i.e. satisfait à l'inégalité triangulaire : $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ pour tous $x,y\in X$ ;
• positivement homogène : $p(rx)=rp(x)$ pour tout $x\in X$et tout nombre réel positif ou nul $r\ge 0.$
• définie positive : $p(x)>0$ pour tout $x\in X$ non nul.

Les normes asymétriques diffèrent des normes dans la mesure où l'on n'a pas nécessairement l'égalité $p(-x)=p(x)$.

Si la dernière condition est omise, c'est-à-dire si l'on ne suppose pas que $p$ est définie positive, on dit que $p$ est une semi-norme asymétrique. Une condition plus faible qu'être définie positive est d'être non dégénérée : $x\ne 0,$ au moins l'un des deux nombres $p(x)$ et $p(-x)$ n'est pas nul.

Exemples

Sur la droite réelle $ℝ,$ la fonction $p$ donnée par$$p(x)=\{\begin{array}{cc}|x|& \text{si}x\le 0\\ 2|x|& \text{si}x\ge 0\end{array}$$est une norme asymétrique mais pas une norme.

Dans un espace vectoriel réel $X,$ la fonctionnelle de Minkowski $p_B$ d'une partie convexe $B\subseteq X$ qui contient l'origine est définie par la formule :

$$p_B(x)=\inf \{r\ge 0:x\in rB\}$$

pour $x\in X$.

Cette fonctionnelle est une semi-norme asymétrique lorsque $B$ est un ensemble absorbant, ce qui signifie que $\bigcup _{r\ge 0}rB=X$ et assure que $p(x)$ est fini pour tout $x\in X$.

Correspondance entre semi-normes asymétriques et sous-ensembles convexes de l'espace dual

Si $B^{*}\subseteq {ℝ}^n$ est une partie convexe qui contient l'origine, alors on peut définir une semi-norme asymétrique $p$ sur ${ℝ}^n$ par la formule$$p(x)=\underset{\phi \in B^{*}}{\max }⟨\phi ,x⟩$$pour $x\in {ℝ}^n$. Par exemple, si $B^{*}\subseteq {ℝ}^2$ est le carré ayant pour sommets $(\pm 1,\pm 1),$ alors $p$ est la norme 1 $x=(x_0,x_1)\mapsto \left|x_0\right|+\left|x_1\right|$. Des ensembles convexes différents donnent des semi-normes différentes et toute semi-norme asymétrique sur ${ℝ}^n$ est déterminée par un ensemble convexe, appelé sa boule unité duale. Par conséquent, les semi-normes asymétriques sont en bijection avec les ensembles convexes qui contiennent l’origine. La semi-norme $p$ est :

• définie positive si et seulement si l'origine appartient à l'intérieur topologique de $B^{*}$;
• dégénérée si et seulement si $B^{*}$ est contenu dans un sous-espace vectoriel de dimension strictement inférieure à $n$ ;
• symétrique si et seulement si $B^{*}=-B^{*}$.

Plus généralement, si $X$ est un espace vectoriel réel de dimension finie et si $B^{*}\subseteq X^{*}$ est une partie convexe compacte de l'espace dual $X^{*}$ qui contient l'origine, alors $p:x\mapsto \underset{\phi \in B^{*}}{\max }\phi (x)$ est une semi-norme asymétrique sur $X$.

Articles connexes

• Jauge, ou fonctionnelle de Minkowski : généralisation de semi-norme définie par une partie convexe qui contient l'origine
• Espace de Finsler : variété lisse dont tous les espaces tangents sont munis d'une fonctionnelle de Minkowski

Notes et références

• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage.