Ovale de Descartes
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En géométrie plane, un(e)[1] ovale de Descartes est l'ensemble des points M vérifiant une équation de la forme Modèle:Nobr, où a, b et c sont trois réels non nuls et FModèle:Ind, FModèle:Ind deux points donnés appelés foyers.
Pour chaque ovale non dégénéré, de foyers FModèle:Ind et FModèle:Ind, il existe un troisième foyer FModèle:Ind et de nouveaux paramètres qui font de la courbe un ovale de foyers FModèle:Ind, FModèle:Ind. C'est la raison pour laquelle on parle des trois foyers d'un ovale.
L'ensemble des points M tels que Modèle:Nobr est appelé ovale complet et regroupe deux courbes du type précédent. Un ovale complet est un cas particulier de courbe quartique.
Le nom « ovale de Descartes » fait référence au mathématicien René Descartes qui fut le premier à les étudier dans des problèmes de réfraction.
Origine
René Descartes fait allusion à ces courbes dans sa Dioptrique mais les étudie plus profondément dans sa Géométrie. Il ne les présente pas directement par leur équation bifocale mais à l'aide d'une construction. Sa motivation est d'ordre pratique : il s'agit de rechercher des courbes de stigmatisme parfait. C'est-à-dire des courbes séparant deux milieux d'indices différents telles que tous les rayons issus d'un point particulier du premier milieu, convergent par réfraction sur un point particulier du second milieu.
Les ovales intérieurs ont cette particularité: si l'ovale d'équation Modèle:Nobr où Modèle:Nobr sépare un milieu intérieur d'indice b d'un milieu extérieur d'indice a alors les rayons issus de FModèle:Ind et rencontrant l'ovale vont se réfracter en FModèle:Ind.
Descartes mobilise, dans cette étude, sa nouvelle connaissance de la loi de réfraction ainsi que ses techniques de tracé de tangentes à des courbes[2]. Il conclut par la présentation de lunettes permettant à l'aide de la combinaison de deux ovales d'assurer un stigmatisme absolu[3].
Il propose également un moyen mécanique de construction de telles ovales pour des coefficients b et a entiers naturels lorsque Modèle:Nobr, avec une méthode s'apparentant à la méthode du jardinier[4].
La courbe est également étudiée par Isaac Newton, Adolphe Quételet qui étudie les deux branches de la courbe et en donne l'équation polaire[5], par Michel Chasles. Arthur Cayley, Hieronymus Georg Zeuthen et Hammond[6] en développent des méthodes mécaniques de construction[7].
Cas particuliers
On considère la courbe d'équation bipolaire Modèle:Nobr. On peut, sans perte de généralité, supposer Modèle:Nobr. Si Modèle:Nobr, la courbe est vide[8].
Lorsque Modèle:Nobr, l'ensemble des points M est une ellipse, le troisième foyer est envoyé à l'infini. On considère en général[8] qu'il s'agit d'un ovale dégénéré.
Lorsque Modèle:Nobr, l'ensemble des points M est une demi-hyperbole. Le troisième foyer est envoyé à l'infini. Il s'agit aussi d'un cas dégénéré.
Lorsque Modèle:Nobr, le troisième foyer est confondu avec FModèle:Ind et l'ovale complet est un limaçon de Pascal.
Équations de l'ovale complet
L'équation Modèle:Nobr peut encore s'écrire sous la forme quartique suivante : Modèle:Retrait
Équations cartésiennes
Dans le cas d'un ovale non dégénéré, en prenant pour origine O le barycentre de FModèle:Ind et FModèle:Ind affectés des coefficient bModèle:2 et –aModèle:2 et pour le vecteur tel que FModèle:Ind a pour abscisse Modèle:Nobr. Alors FModèle:Ind a pour abscisse Modèle:Nobr. En posant Modèle:Nobr, l'équation de l'ovale devient[9] : Modèle:Retrait où σModèle:Ind, σModèle:Ind et σModèle:Ind sont les fonctions symétriques des réels α, β et γ : Modèle:Retrait
Le caractère symétrique des rôles joués par les réels α, β et γ permet de dire que la même équation cartésienne sera obtenue pour l'ovale de foyers FModèle:Ind et FModèle:Ind(γ, 0) et d'équation Modèle:Nobr ainsi que pour l'ovale de foyers FModèle:Ind et FModèle:Ind et d'équation Modèle:Nobr.
On peut aussi décider de prendre pour origine, le milieu du segment [FModèle:IndFModèle:Ind][10] ou un des foyers[11] pour obtenir des équations alternatives.
Équation polaire
Dans le repère de centre FModèle:Ind et dont l'axe principal est orienté vers FModèle:Ind, si l'on note Modèle:Nobr, l'ovale complet d'équation Modèle:Nobr a pour équation polaire[12] :
Puisque le produit des deux racines de cette équation est indépendant de θ, l'ovale complet est invariant par inversion[13] de centre FModèle:Ind et de rapport .
Propriétés géométriques
On considère l'ovale d'équation Modèle:Nobr.
Troisième foyer
Si l'ovale n'est pas dégénéré, le troisième foyer FModèle:Ind est le barycentre des points FModèle:Ind et FModèle:Ind affectés des coefficient Modèle:Nobr et Modèle:Nobr, et les deux autres équations de l'ovale sont Modèle:Nobr et Modèle:Nobr, voir à théorème de Stewart.
Sommets
Les 4 sommets de l'ovale complet sont les barycentres des points FModèle:Ind et FModèle:Ind affectés des coefficients Modèle:Nobr, Modèle:Nobr, Modèle:Nobr, Modèle:Nobr.
Tangente et normale
La normale à l'ovale d'équation Modèle:Nobr au point M a pour vecteur directeur[8] : Modèle:Retrait
Ainsi, si on appelle θModèle:Ind l'angle que fait FModèle:IndM avec la normale et θModèle:Ind l'angle que fait FModèle:IndM avec la normale, on a l'égalité : Modèle:Retrait.
Pour 0< b < a, on retrouve là, la loi de Snell-Descartes. Si l'ovale sépare deux milieux, l'un d'indice b contenant FModèle:Ind et l'autre d'indice a contenant FModèle:Ind et si M est le premier point de rencontre de la demi-droite [FModèle:IndM) avec l'ovale, alors le rayon FModèle:IndM) se réfracte en MFModèle:Ind
Construction à l'aide de deux cercles
Michel Chasles[14] propose une construction d'ovale complet à l'aide de deux cercles de centres FModèle:Ind et FModèle:Ind et d'un point C situé sur la droite (FModèle:IndFModèle:Ind). On fait pivoter une droite autour de C de telle sorte qu'elle rencontre le premier cercle en deux points MModèle:Ind et NModèle:Ind et le second cercle en MModèle:Ind et NModèle:Ind. Les points de rencontre des droites (FModèle:IndMModèle:Ind) et (FModèle:IndNModèle:Ind) avec les droites (FModèle:IndMModèle:Ind) et (FModèle:IndNModèle:Ind) dessinent alors un ovale complet quand la droite pivote autour de C.
Projection d'une courbe gauche
Un ovale de Descartes est le projeté vertical dans un plan horizontal de l'intersection de deux cônes de révolution d'axes verticaux différents. Les foyers sont alors les projetés des sommets des deux cônes. Cette interprétation permet de retrouver de façon relativement simple certaines propriétés géométriques des ovales[15]
Caustique secondaire par réfraction
Si l'ovale complet a pour équation |bMFModèle:Ind ± aMFModèle:Ind| = |cFModèle:IndFModèle:Ind| et si les point O et P sont définis comme les barycentres de FModèle:Ind et FModèle:Ind affectés des coefficient b² et –a² pour O, et a et b pour P, l'ovale est alors la caustique secondaire par réfraction[16] de rapport n = |a/c| du cercle (Γ) de centre O, passant par P, par rapport au foyer FModèle:Ind. C'est donc l'enveloppe des cercles (ΓModèle:Ind) de centres M situés sur (Γ) et de rayons FModèle:IndM/n.
Chaque cercle (ΓModèle:Ind) est tangent à l'ovale en deux points TModèle:Ind et T'Modèle:Ind toujours alignés avec le troisième foyer de l'ovale[17].
Références
Bibliographie et sources
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Lien web
- Modèle:Article
- Modèle:Chapitre
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Article
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Ouvrage
- ↑ Descartes Modèle:Harv et BarbinModèle:Harv utilisent le féminin.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Pour la construction de l'ovale voir Modèle:Harvsp, pour une analyse voir Modèle:Harvsp.
- ↑ Adolphe Quetelet, Démonstration et développement des principes fondamentaux de la théorie des caustiques secondaires. Nouveaux mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles (1829), lire en ligne
- ↑ J. Hammond, On the Mechanical Description of the Cartesian, American Journal of Mathematics, 1878
- ↑ Modèle:Ouvrage, p.558.
- ↑ 8,0 8,1 et 8,2 Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp, avec des notations différentes.
- ↑ Modèle:Mathworld
- ↑ Modèle:Harvsp, équation de l'ovale Modèle:Nobr dans le repère de centre FModèle:Ind dans lequel FModèle:Ind a pour abscisse c
- ↑ Modèle:Harvsp ou Modèle:Harvsp, avec d'autres notations.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Article
- ↑ Robert Ferréol, Jacques Mandonnet, Anticaustique, Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2000
- ↑ Modèle:Harvsp