Phénomène de Gibbs

En mathématiques, lors de l'étude des séries de Fourier et des transformées de Fourier, il apparaît parfois une déformation du signal, connue sous le nom de phénomène de Gibbs. Ce phénomène est un effet de bord qui se produit à proximité d'une discontinuité, lors de l'analyse d'une fonction dérivable par morceaux.

Histoire

Le phénomène fut mis pour la première fois en évidence en 1848 par Henry Wilbraham, mais cette découverte ne connut guère d'écho.

En 1898, Albert Michelson développa un système mécanique capable de calculer et sommer la série de Fourier d'un signal donné en entrée. Il observa alors un effet d'amplification des discontinuités, qui persistait malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés.

Alors que Michelson soupçonnait un défaut dans la fabrication de son engin, Josiah Willard Gibbs montra que le phénomène était d'origine mathématique et se produisait dans des conditions très générales. En 1906, Maxime Bôcher donna la première interprétation satisfaisante du phénomène auquel il donna le nom de phénomène de Gibbs.

Description du phénomène

Phénomène de Gibbs

Approximation du créneau à l'ordre 10.

Approximation du créneau à l'ordre 50.

Approximation du créneau à l'ordre 250.

Le phénomène de Gibbs est, en quelque sorte, un « défaut d'approximation » pour une fonction continue de classe CModèle:1 par morceaux. Pour une telle fonction Modèle:Math, le théorème de Dirichlet assure que la série de Fourier de Modèle:Math converge simplement vers la fonction Modèle:Math sur l'intervalle où Modèle:Math est CModèle:1 par morceaux. En tout point Modèle:Math de continuité, la somme de la série de Fourier est Modèle:Math.

Le polynôme trigonométrique Modèle:Math, N-ième somme partielle de la série de Fourier, est une fonction continue ; il est donc normal qu'il ne puisse approcher uniformément la fonction au voisinage des points de discontinuité. Inversement, sur un segment sur lequel Modèle:Math est dérivable, on observe une convergence uniforme, conformément au théorème de Weierstrass trigonométrique (c'est le cas des zones de « plateau » dans l'exemple de la fonction créneau).

Au point de discontinuité Modèle:Math, Modèle:Math subit une forte oscillation, une sorte de « ressaut » qui se mesure en comparant les valeurs en $x-\frac{\pi }{\mathrm{N}}$ et $x+\frac{\pi }{\mathrm{N}}$. En effet, toujours d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de Modèle:Math converge aussi simplement aux points de discontinuités mais vers la régularisée de Dirichlet, i.e. la demi-somme des valeurs de Modèle:Math de part et d'autre du point de discontinuité. Lorsque N devient grand, l'amplitude de ces oscillations tend vers une limite strictement plus grande que l'amplitude de la discontinuité, alors que la largeur de la zone d'oscillation tend vers 0.

Il est remarquable que le phénomène s'exprime quantitativement de façon indépendante de la fonction considérée. Si la fonction a une discontinuité d'amplitude Modèle:Math, alors Modèle:Math, tout en restant continue, connaîtra un « ressaut » en ordonnée valant de l'ordre de 9 % de plus au voisinage de la discontinuité.

Explication pour le signal carré

Animation des harmoniques d'un signal carré. Plus le nombre d’harmoniques est grand, plus le phénomène de Gibbs sera visible.

Considérons un signal carré impair de période $L=2\pi$. On se place sur la discontinuité en 0, et le saut est fixé à π/2. On se place dans le cas d'une somme Modèle:Math pour N pair, sans perte de généralité. On a alors

${\mathrm{S}}_{\mathrm{N}}f(x)=\sin (x)+\frac{1}{3}\sin (3x)+\cdots +\frac{1}{\mathrm{N}-1}\sin ((\mathrm{N}-1)x).$

En particulier, le théorème de Dirichlet nous donne en x = 0

${\mathrm{S}}_{\mathrm{N}}f(0)=0=\frac{-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}}{2}=\frac{f(0^{-})+f(0^{+})}{2}.$

De plus,

${\mathrm{S}}_{\mathrm{N}}f\left(\frac{2\pi }{2\mathrm{N}}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{\mathrm{N}}\right)+\frac{1}{3}\sin \left(\frac{3\pi }{\mathrm{N}}\right)+\cdots +\frac{1}{\mathrm{N}-1}\sin \left(\frac{(\mathrm{N}-1)\pi }{\mathrm{N}}\right)$

soit, en utilisant la fonction sinus cardinal normalisée $\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$ :

${\mathrm{S}}_{\mathrm{N}}f\left(\frac{2\pi }{2\mathrm{N}}\right)=\frac{\pi }{2}[\frac{2}{\mathrm{N}}\mathrm{sinc}\left(\frac{1}{\mathrm{N}}\right)+\frac{2}{\mathrm{N}}\mathrm{sinc}\left(\frac{3}{\mathrm{N}}\right)+\cdots +\frac{2}{\mathrm{N}}\mathrm{sinc}\left(\frac{(\mathrm{N}-1)}{\mathrm{N}}\right)].$

Or le terme de droite n'est autre qu'une approximation de l'intégrale $\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{sinc}(x)\mathrm{d}x$ par une méthode du point médian de pas Modèle:Frac. Comme le sinus cardinal est continu, la somme converge vers la valeur exacte de l'intégrale pour N → ∞ :

$\underset{\mathrm{N}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{S}}_{\mathrm{N}}f\left(\frac{2\pi }{2\mathrm{N}}\right)=\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{sinc}(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\sin (t)}{t}\mathrm{d}t=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}\times 0,089490\dots$

De même, on a :

$\underset{\mathrm{N}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{S}}_{\mathrm{N}}f(-\frac{2\pi }{2\mathrm{N}})=-\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{sinc}(x)\mathrm{d}x=-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2}\times 0,089490\dots$

La quantité

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}+\pi \times 0,089392\dots =1,851937052\dots$

est appelée constante de Gibbs-Wilbraham. C'est l'apparition de cette constante qui explique la surélévation du signal près de la discontinuité.

Liens avec la causalité

Les appareils de mesure se comportent comme des filtres passe-bas : ils sont incapables de réagir à des signaux de trop haute fréquence. Supposons que l'on mesure un échelon de tension : il sera déformé et fera apparaître des oscillations avant et après la discontinuité du signal réel.

Cependant, cela signifierait que les oscillations se sont produites avant que l'échelon ne soit mesuré, ce qui briserait la causalité. En réalité, cela peut avoir deux interprétations : soit les appareils ne sont pas des filtres parfaits (ce qui est compréhensible), soit l'échelon de tension ne peut être parfaitement discontinu.

Si on considère l'une ou l'autre de ces corrections, la transformée de Fourier est simplement décalée : les oscillations débutent au moment où l'échelon est envoyé, l'échelon n'étant observé qu'après un léger retard.

Voir aussi

Articles connexes

• Phénomène de Runge
• Fenêtrage
• Traitement du signal
• Somme de Fejér
• Approximation sigma

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:En Antoni Zygmund, Trigonometrical series, Dover Publications, 1955