Presque tous

En mathématiques, le terme « presque tous » signifie « tous sauf une quantité négligeable ». Plus précisément, si $X$ est un ensemble, « presque tous les éléments de $X$ » signifie « tous les éléments de $X$ à l'exception de ceux d'un sous-ensemble négligeable de $X$ ». La signification de « négligeable » dépend du contexte mathématique : par exemple, cela peut signifier fini, dénombrable ou de mesure nulleModèle:Références multiples.

En revanche, " presque aucun " signifie "une quantité négligeable", c'est-à-dire que "presque aucun élément de $X$" signifie "une quantité négligeable d'éléments de $X$ ".

Significations dans différents domaines des mathématiques

Signification prévalente

Dans plusieurs domaines des mathématiques, « presque tous » est parfois utilisé pour signifier « tous (les éléments d'un ensemble infini), à l'exception d’un nombre fini Modèle:Références multiples. » Cette utilisation se produit également en philosophieModèle:Références multiples. De même, « presque tous » peut signifier « tous (les éléments d'un ensemble non dénombrable), à l'exception d’un ensemble dénombrable Modèle:Références multiples. »

Exemples :

• presque tous les nombres entiers positifs sont supérieurs à 1 000 000 000 000Modèle:Références multiples ;
• presque tous les nombres premiers sont impairs (car 2 est la seule exception) ;
• presque tous les polyèdres sont irréguliers (car il n'y a que neuf exceptions: les cinq solides platoniques et les quatre polyèdres de Kepler – Poinsot) ;
• si P est un polynôme non nul, alors P (x) ≠ 0 pour presque tous les x (sinon tous les x).

Signification dans la théorie de la mesure

L'escalier de Cantor comme une fonction qui a une dérivée nulle presque partout.

Quand on parle des réels, parfois «presque tous» peut signifier «tous les réels à l'exception d'un ensemble de mesure nulle »Modèle:Références multiplesModèle:,Modèle:Références multiples. De même, si S est un ensemble de réels, "presque tous les nombres de S " peut signifier "tous les nombres de S sauf ceux d'un ensemble de mesure nulle "Modèle:Références multiples. La ligne réelle peut être considérée comme un espace euclidien unidimensionnel. Dans le cas plus général d'un espace à n dimensions (où n est un entier positif), ces définitions peuvent être généralisées à "tous les points sauf ceux d'un ensemble de mesure nulle"Modèle:Références multiples ou "tous les points de S sauf ceux d'un ensemble de mesure nulle "(cette fois, S est un ensemble de points dans l'espace)Modèle:Références multiples. Plus généralement encore, «presque tout» est parfois utilisé dans le sens de « presque partout » dans la théorie de la mesureModèle:Références multiplesModèle:,Modèle:Références multiples, ou dans le sens étroitement lié de « presque sûrement » en théorie des probabilitésModèle:Références multiples Modèle:Références multiples.

Exemples :

• dans un espace mesuré, comme la droite des réels, les ensembles dénombrables ont une mesure nulle. L'ensemble des nombres rationnels est dénombrable, donc presque tous les réels sont irrationnels ;
• comme l'a prouvé Georg Cantor dans Modèle:Lien, l'ensemble des nombres algébriques est aussi dénombrable, donc presque tous les réels sont transcendantsModèle:, ;
• presque tous les réels sont normaux ;
• l'ensemble de Cantor a aussi une mesure nulle, donc presque tous les réels ne sont pas contenus dans celui-ci, même s'il est indénombrable ;
• la dérivée de la fonction de Cantor est nulle pour presque tous les nombres dans $[0;1]$. Ceci découle de l'exemple précédent car la fonction de Cantor est constante localement, et a donc une dérivée nulle en dehors de l'ensemble de Cantor.

Signification en théorie des nombres

En théorie des nombres, "presque tous les entiers positifs" peut signifier "les entiers positifs dans un ensemble dont la densité naturelle est 1". Autrement dit, si A est un ensemble d'entiers positifs, et si la proportion d'entiers positifs dans A en dessous de n (sur tous les entiers positifs inférieurs à n) tend vers 1 alors que n tend vers l'infini, alors presque tous les entiers positifs sont dans AModèle:Références multiplesModèle:,Modèle:Références multiples.

Plus généralement, soit S un ensemble infini d'entiers positifs, tels que l'ensemble des nombres positifs pairs ou l'ensemble des nombres premiers, si A est un sous-ensemble de S, et si la proportion d'éléments de S inférieurs à n qui sont dans A (sur tous les éléments de S en dessous de n) tend vers 1 alors que n tend vers l'infini, alors on peut dire que presque tous les éléments de S sont dans A.

Exemples :

• la densité naturelle des ensembles de cofinite d'entiers positifs est 1, donc chacun d'eux contient presque tous les entiers positifs ;
• presque tous les entiers positifs sont compositesModèle:Références multiplesModèle:,Modèle:Note ;
• presque tous les nombres même positifs peuvent être exprimés comme la somme de deux nombres premiersModèle:Références multiples ;
• presque tous les nombres premiers sont isolés . De plus, pour tout entier positif Modèle:Mvar, presque tous les nombres premiers ont des intervalles premiers de plus de Modèle:Mvar fois à leur gauche et à leur droite ; c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'autres nombres premiers entre Modèle:Formule et Modèle:FormuleModèle:Références multiples.

Signification en théorie des graphes

En théorie des graphes, si A est un ensemble de graphes (étiquetés finis), on peut dire qu'il contient presque tous les graphes, si la proportion de graphes avec n sommets qui sont dans A tend vers 1 alors que n tend vers l'infiniModèle:Références multiples. Cependant, il est parfois plus facile de travailler avec des probabilitésModèle:Références multiples donc la définition est reformulée comme suit. La proportion de graphes avec n sommets qui sont dans A est égale à la probabilité qu'un graphe aléatoire avec n sommets (choisis avec la distribution uniforme) soit dans A, et choisir un graphe de cette manière a le même résultat que de générer un graphe en retournant un coin pour chaque paire de sommets pour décider de les connecterModèle:Références multiples. Par conséquent, de façon équivalente à la définition précédente, l'ensemble A contient presque tous les graphes si la probabilité qu'un graphe généré par le retournement de pièces avec n sommets soit dans A tend vers 1 alors que n tend vers l'infiniModèle:Références multiples. Parfois, la dernière définition est modifiée de sorte que le graphe est choisi au hasard d'une autre manière, où tous les graphes avec n sommets n'ont pas la même probabilitéModèle:Références multiples, et ces définitions modifiées ne sont pas toujours équivalentes au principal.

L'utilisation du terme «presque tout» dans la théorie des graphes n'est pas standard ; le terme « asymptotiquement presque sûrement » est plus couramment utilisé pour ce conceptModèle:Références multiples.

Exemple:

• presque tous les graphiques sont asymétriquesModèle:Références multiples ;
• presque tous les graphiques ont un diamètre 2Modèle:Références multiples.

Signification en topologie

En topologieModèle:Références multiples et en particulier en théorie des systèmes dynamiques Modèle:Références multiples (y compris des applications en économie)Modèle:Références multiples, « presque tous » les points d'un espace topologique peuvent signifier « tous les points de l'espace mais ceux dans un maigre ensemble ». Certains utilisent une définition plus limitée où un sous-ensemble ne contient presque tous les points de l'espace que s'il contient un ensemble dense ouvertModèle:Références multiples.

Exemple :

• étant donné une variété algébrique irréductible, les propriétés qui sont valables pour presque tous les points de la variété sont exactement les propriétés génériquesModèle:Références multiples. Ceci est dû au fait que dans une variété algébrique irréductible équipée de la topologie Zariski, tous les ensembles ouverts non vides sont denses.

Signification en algèbre

En algèbre abstraite et en logique mathématique, si U est un ultrafiltre sur un ensemble X, "presque tous les éléments de X " signifie parfois "les éléments d'un élément de U "Modèle:Références multiples. Pour toute partition de X en deux ensembles disjoints, l'un d'eux contiendra nécessairement presque tous les éléments de X. Il est possible de penser que les éléments d'un filtre sur X contiennent presque tous les éléments de X, même s'il ne s'agit pas d'un ultrafiltreModèle:Références multiples.

Voir également

• Presque partout
• Presque sûrement