Propriété virtuelle

En mathématiques, plus précisément en algèbre générale et dans l'étude des groupes, l'adverbe virtuellement est utilisé pour indiquer qu'une propriété est valide à indice fini près pour un groupe. Formellement, étant donné une propriété P, un groupe G est dit virtuellement P s'il existe un sous-groupe H de G tel que H a la propriété P et H est d'indice fini dans G. Par exemple, tout groupe fini est virtuellement trivial.

En topologie, une propriété virtuelle est une propriété valide à revêtement fini près. Un exemple célèbre d'une propriété virtuelle des variétés est la démonstration de la Modèle:Lien en 2012 par Ian Agol qui lui a valu en 2016 l'attribution du Modèle:Lang.

Terminologie

Des exemples de propriétés souvent étudiées virtuellement sont le fait d'être abélien, nilpotent, résoluble ou libre. Par exemple : un théorème de Bieberbach affirme qu'un groupe cristallographique est virtuellement abélien, l'Modèle:Lien donne une caractérisation des groupes linéaires virtuellement résolubles, et le théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale affirme que les groupes de type fini avec un Modèle:Lien polynomial sont exactement les groupes virtuellement nilpotents de type fini.

La même terminologie peut aussi être employée lorsque G est un groupe donné et P est la propriété « être isomorphe à G » : on dit d'un groupe virtuellement isomorphe à H qu'il est virtuellement H.

Par la correspondance entre revêtements et sous-groupes du groupe fondamental, cet usage peut aussi être transporté aux variétés ; ainsi, on dit qu'une variété est virtuellement P si elle possède un revêtement fini avec la propriété P.

Exemples

Virtuellement abélien

Tout groupe diédral généralisé est virtuellement abélien, puisque c'est un produit semi-direct N⋊H d'un groupe abélien N par un groupe fini H.

Virtuellement nilpotent

Tout groupe virtuellement abélien est virtuellement nilpotent, puisque tout groupe abélien est nilpotent.

Virtuellement libre

• Tout groupe virtuellement « cyclique » (à prendre dans toute cette page au sens : monogène) est virtuellement $1$ ou $\mathbb{Z}$ donc virtuellement libre.
• Tout produit libre de deux groupes finis est virtuellement libre. (Par exemple, le groupe modulaire $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})\simeq {\mathbb{Z}}_2*{\mathbb{Z}}_3$ ou le groupe diédral infini $D_{\mathrm{\infty }}\simeq {\mathbb{Z}}_2*{\mathbb{Z}}_2\simeq \mathbb{Z}⋊{\mathbb{Z}}_2$.)
• Il résulte du théorème de Stallings sur les bouts d'un groupe que tout groupe sans torsion virtuellement libre est libre.

Virtuellement cyclique

• Tout groupe virtuellement cyclique, c'est-à-dire admettant un sous-groupe cyclique H d'indice fini, admet un sous-groupe normal cyclique d'indice fini : le cœur de H.
• Un groupe est donc virtuellement cyclique si et seulement s'il est fini ou admet un sous-groupe normal d'indice fini isomorphe à $\mathbb{Z}$.
• Par ailleurs, G est virtuellement cyclique si et seulement s'il a un sous-groupe normal fini N tel que le quotient G/N soit isomorphe à $1,\mathbb{Z}$ ou $D_{\mathrm{\infty }}$Modèle:,Modèle:,.

Virtuellement polycyclique

Tout sous-groupe d'un Modèle:Lien est polycyclique, puisque tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

Par conséquent (en utilisant le cœur comme ci-dessus), tout groupe virtuellement polycyclique admet un sous-groupe normal polycyclique d'indice fini.

Autre exemples

• Le groupe libre $F_2$ à 2 générateurs est virtuellement $F_n$ pour tout $n\ge 2$ ; c'est une conséquence du théorème de Nielsen-Schreier et de la formule de Schreier.
• Théorème d'Agol : toute 3-variété Modèle:Lien compacte, orientable, irréductible est virtuellement une Modèle:Lien. Elle possède également les propriétés virtuelles plus fortes suivantes : son premier nombre de Betti est virtuellement non nul, et elle est virtuellement un tore d'homéomorphisme d'une surface.

Voir aussi

Bibliographie

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