Pseudo-carré

Pseudo-carré et carré circonscrit

Un pseudo-carré est un quadrilatère convexe dont les diagonales sont de même longueur et orthogonales, c'est-à-dire à la fois équidiagonal et orthodiagonal. Le carré en est un cas particulier.

Propriétés

• Le terme de pseudo-carré apparait en 1893 dans la question 878, du recueil de problèmes de Paul Mansion et Joseph Neuberg, Mathesis - Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales et des établissements d'instruction moyenne:

Une solution à ce problème est proposée dans les volumes Modèle:XV et Modèle:XVI (1895-1896) de cette même collection. Dans ce même volume, Henricus Hubertus van Aubel propose à la question 879 son théorème : les centres des carrés construits à l'extérieur d'un quadrilatère quelconque dessinent un pseudocarré.

• Le carré circonscrit au pseudo-carré dont les côtés sont perpendiculaires aux diagonales a, comme exemplifié par la preuve sans mots de la figure ci-dessus, une aire deux fois supérieure à celle du pseudo-carré.
• Étant donné deux longueurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, les quadrilatères convexes ayant Modèle:Mvar et Modèle:Mvar pour longueurs de diagonales ont une aire maximale (égale à $pq/2$) lorsqu'ils sont orthodiagonaux. On en déduit que les quadrilatères de diamètre donné ont une aire maximale lorsqu'ils sont ortho- et équi-diagonaux, autrement dit des pseudo-carrés (voir à plus grand petit polygone).
• Si l'on trace à l'extérieur d'un quadrilatère convexe 4 carrés s'appuyant sur ses côtés, les centres de ces carrés forment un pseudo-carré (théorème de Van Aubel).

Liens externes

Les quadrilatères au collège, sur le site de Patrice Debart