Quaternion hyperbolique

Modèle:Ébauche L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Alexander Macfarlane. L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions de Hamilton, c'est une algèbre réelle de dimension Modèle:Math.

Une combinaison linéaire :

$q=a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}$

est un quaternion hyperbolique si $a,b,c$ et $d$ sont des nombres réels, et les unités $1,\mathrm{i},\mathrm{j},\mathrm{k}$ sont telles que :

$\{\begin{array}{c}\mathrm{i}\mathrm{j}=-\mathrm{j}\mathrm{i}=\mathrm{k}\\ \mathrm{j}\mathrm{k}=-\mathrm{k}\mathrm{j}=\mathrm{i}\\ \mathrm{k}\mathrm{i}=-\mathrm{i}\mathrm{k}=\mathrm{j}\\ {\mathrm{i}}^2={\mathrm{j}}^2={\mathrm{k}}^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=+1\end{array}$

Soit :

$\cdot$	$1$	$\mathrm{i}$	$\mathrm{j}$	$\mathrm{k}$
$1$	$1$	$\mathrm{i}$	$\mathrm{j}$	$\mathrm{k}$
$\mathrm{i}$	$\mathrm{i}$	$1$	$\mathrm{k}$	$-\mathrm{j}$
$\mathrm{j}$	$\mathrm{j}$	$-\mathrm{k}$	$1$	$\mathrm{i}$
$\mathrm{k}$	$\mathrm{k}$	$\mathrm{j}$	$-\mathrm{i}$	$1$

La différence entre les quaternions et les quaternions hyperboliques est donc la valeur du carré ${\mathrm{i}}^2={\mathrm{j}}^2={\mathrm{k}}^2=+1$. Elle vaut $-1$ pour les quaternions et $+1$ pour les quaternions hyperboliques.

Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble $\{1,\mathrm{i},\mathrm{j},\mathrm{k},-1,-\mathrm{i},-\mathrm{j},-\mathrm{k}\}$ forme un quasigroupe.

Exemple de non-associativité : $\left(\mathrm{i}\mathrm{j}\right)\mathrm{j}=\mathrm{k}\mathrm{j}=-\mathrm{i}$ alors que $\mathrm{i}\left(\mathrm{j}\mathrm{j}\right)=\mathrm{i}\times 1=\mathrm{i}$.

Si l'on définit le conjugué $q^{*}$ de $q$ par

$q^{*}=a-b\mathrm{i}-c\mathrm{j}-d\mathrm{k}$

alors le produit

$\Vert q\Vert :=q{q}^{*}=a^2-b^2-c^2-d^2$ est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski, pour la convention $+---$.

Soit $X(\mathrm{c}t,x,y,z)$ un point de l'espace temps et $X^{*}(\mathrm{c}t,x,y,z)$ son conjugué. $\Vert X\Vert ={\mathrm{c}}^2{t}^2-x^2-y^2-z^2$ est le carré de la pseudo-norme de $X$ dans l'espace de Minkowski.

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