Secteur hyperbolique
En géométrie, un secteur hyperbolique est une région du plan cartésien délimitée par une hyperbole et deux rayons partant de l'origine vers celle-ci. Par exemple, les deux points Modèle:Formule et Modèle:Formule sur l'hyperbole équilatère Modèle:Formule, ou la région correspondante lorsque cette hyperbole est remise à l'échelle et que son orientation est modifiée par une rotation laissant le centre à l'origine, comme avec l'hyperbole unité. Un secteur hyperbolique en position standard part de Modèle:Formule et Modèle:Formule .
Les secteurs hyperboliques sont à la base des fonctions hyperboliques.
Surface
L'aire d'un secteur hyperbolique en position standard est égal au logarithme naturel de Modèle:Mvar.
Pour le prouver, on intègre Modèle:Math entre 1 et Modèle:Mvar, on y ajoute le triangle Modèle:Math et on en soustrait le triangle Modèle:Math[1].
En position standard, un secteur hyperbolique correspond à un angle hyperbolique positif à l'origine, la mesure de ce dernier étant définie comme l'aire du premier.
Triangle hyperbolique
En position standard, un secteur hyperbolique détermine un triangle hyperbolique, correspondant au triangle rectangle avec un sommet à l'origine, la base sur le rayon diagonal Modèle:Math, et le troisième sommet sur l'hyperbole Modèle:Math, avec l'hypoténuse étant le segment de l'origine au point Modèle:Math sur l'hyperbole. La longueur de la base de ce triangle est Modèle:Math et sa hauteur vaut Modèle:Math, où Modèle:Mvar est l'angle hyperbolique approprié.
L'analogie entre les fonctions circulaires et hyperboliques a été décrite par Auguste De Morgan dans son ouvrage Trigonometry and Double Algebra (1849)[2]. William Burnside a utilisé de tels triangles, se projetant d'un point sur l'hyperbole Modèle:Math sur la diagonale principale, dans son article Modèle:Lang[3].
Logarithme hyperbolique
On sait que Modèle:Math admet une primitive algébrique sauf dans le cas Modèle:Math correspondant à la quadrature de l'hyperbole. Les autres cas sont donnés par la formule de quadrature de Cavalieri. Alors que la quadrature de la parabole avait été réalisée par Archimède au Modèle:-s- (dans La Quadrature de la Parabole), la quadrature hyperbolique nécessita l'invention en 1647 d'une nouvelle fonction : Grégoire de Saint-Vincent aborda le problème du calcul des aires délimitées par une hyperbole. Ses découvertes ont conduit à la fonction logarithme naturel, autrefois appelée logarithme hyperbolique car elle est obtenue en intégrant, ou en trouvant l'aire, sous l'hyperbole[4].
Avant 1748 et la publication de Introductio in analysin infinitorum, le logarithme naturel était connu en termes d'aire d'un secteur hyperbolique. Leonhard Euler a changé cela lorsqu'il a introduit des fonctions transcendantes telles que Modèle:Math. Euler a identifié [[E (nombre)|Modèle:Math]] comme la valeur de Modèle:Mvar produisant une unité de surface (sous l'hyperbole ou dans un secteur hyperbolique en position standard). Alors le logarithme naturel pourrait être reconnu comme la fonction réciproque de la fonction transcendantale Modèle:Math.
Géométrie hyperbolique
Lorsque Felix Klein a écrit son livre sur la géométrie non euclidienne en 1928, il a fourni une base pour le sujet en se basant sur la géométrie projective. Pour établir une mesure hyperbolique sur une ligne, il a noté que l'aire d'un secteur hyperbolique fournissait une illustration visuelle du concept[5]
Les secteurs hyperboliques peuvent également être dessinés depuis l'hyperbole . L'aire de ces secteurs hyperboliques a été utilisée pour définir la distance hyperbolique dans un manuel de géométrie.