Théorème de Banach-Mazur

Modèle:Ébauche Modèle:Homon Le théorème de Banach-Mazur est un résultat d'analyse fonctionnelle. De manière très approximative, il exprime que les espaces vectoriels normés vérifiant des conditions raisonnables du point de vue de l'analyse sont des sous-espaces de l'espace des chemins continus tracés sur la droite réelle. Le théorème porte le nom de Stefan Banach et Stanisław Mazur.

Énoncé

Pour tout espace compact K, on note C(K) l'espace de Banach des fonctions continues de K dans ℝ, muni de la norme ‖ ‖Modèle:Ind de la convergence uniforme.

Une isométrie linéaire d'un espace vectoriel normé dans un autre est appelée un plongement.

Autrement dit : un tel espace E s'identifie à un sous-espace vectoriel F de C([0, 1]). Évidemment, si de plus E est de Banach, alors le sous-espace F est fermé.

Démonstration

• Tout espace vectoriel normé séparable E se plonge dans C(K) pour un certain espace métrique compact K :Modèle:Retrait
• Pour tout espace compact métrisable K, C(K) se plonge dans C(Δ), où Δ désigne l'ensemble de Cantor :Modèle:Retrait
• C(Δ) se plonge dans C([0, 1]) :Modèle:Retrait

Corollaire

Modèle:Énoncé En effet, si X est un tel espace, vu comme partie de [[Espace de suites ℓp|Modèle:Math(X)]] via un plongement de Kuratowski, et si D est une partie dénombrable dense de X, alors X est inclus dans un espace vectoriel normé séparable : l'adhérence, dans Modèle:Math(X), de l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients rationnels d'éléments de D.

Remarques

• C([0, 1]) est un espace de Banach universel par rapport aux sous-espaces images dans la classe de tous les espaces de Banach séparables ; c'est précisément le résultat du théorème de Banach-Mazur.

Il existe d'autres espaces de Banach séparables universels par rapport aux sous-espaces images : on peut montrer que tout espace de Banach séparable est isométriquement isomorphe à un espace quotient de l'[[Espace de suites lp|espace des suites ℓModèle:1]].

• Aleksander Pełczyński a montré en 1962, que les propositions suivantes sur les espaces de Banach séparables E étaient équivalentes :

1. E est un espace de Banach séparable universel par rapport aux sous-espaces images ;
2. C(Δ) se plonge dans E ;
3. C([0, 1]) se plonge dans E ;
4. Il existe des éléments $x_{n,k}\in E$ pour $n\in \mathbb{N}$ et $k=0,1,\dots 2^n-1$, tels que $x_{n,k}=x_{n+1,2k}+x_{n+1,2k+1}$ et $\Vert \sum _{k=0}^{2^n-1}{t}_k{x}_{n,k}\Vert =\underset{k=0,\dots 2^n-1}{\max }|t_k|$ pour tous les réels $t_k$.

• Le corollaire s'étend : si α est un cardinal non dénombrable, tout espace métrique de densité α est isométrique à une partie de C([0, 1]Modèle:Exp).

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence, dont les références étaient

• Modèle:De S. Banach et S. Mazur, « Zur Theorie der linearen Dimension », dans Studia Mathematica, vol. 4, 1933, Modèle:P.,
• Modèle:De A. Pełczyński, « Über die Universalität einiger Banachräume », dans Vestnik Leningrad. Univ. Ser. Mat. Meh. Astr., vol. 13, 1962, Modèle:P. (original en russe, trad. en allemand),
• Modèle:En P. Wojtaszczyk, Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 25, 1991 et
• Modèle:En Terry J. Morrison, Functional Analysis, An Introduction to Banach Space Theory, Wiley, 2001 Modèle:ISBN.