Théorème de Fréchet-Kolmogorov

Modèle:Confusion En analyse fonctionnelle, le théorème de Fréchet-Kolmogorov (noms auxquels on adjoint parfois Riesz ou Weil) donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de fonctions soit relativement compact dans l'[[espace Lp|espace Modèle:Math]], où Modèle:Math désigne la mesure de Lebesgue sur ℝModèle:Exp. Il constitue une variante Modèle:Math du théorème d'Ascoli.

Énoncé

Soient p un nombre réel supérieur ou égal à 1 et B un sous-ensemble de Modèle:Math.

Cette partie B est relativement compacte si et seulement si les trois propriétés suivantes ont lieu simultanément :

1. B est bornée,
2. $\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\Vert x\Vert >r}{\int }{\left|f\right|}^p\mathrm{d}\lambda =0$ uniformément par rapport à Modèle:Math B,
3. $\underset{a\to 0}{\lim }\Vert {\tau }_{a}f-f{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p(\lambda )}=0$ uniformément par rapport à Modèle:Math B, où Modèle:Math désigne la translatée de Modèle:Math par Modèle:Math, c'est-à-dire Modèle:Math.

Démonstration

Puisque Modèle:Math est complet, B est relativement compact si et seulement s'il est précompact.

Sachant que les trois propriétés sont vraies si B est un singleton, on en déduit facilement qu'elles le restent si B est un précompact.

Réciproquement, supposons que B satisfait les trois propriétés et montrons qu'il est précompact. D'après l'hypothèse 2, il suffit de démontrer que pour tout compact K de ℝModèle:Exp, l'ensemble BModèle:Ind des restrictions à K d'éléments de B est précompact.

Pour tout Modèle:Math, notons :

• Modèle:Math la boule de ℝModèle:Exp de centre 0 et de rayon Modèle:Math ;
• Modèle:Math son volume ;
• Modèle:Math la mesure de probabilité de Lebesgue sur cette boule  : Modèle:Math ;
• $\mathrm{\forall }f\in {\mathrm{L}}^p(\lambda )\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n{f}_r(x)=\int {\tau }_{x}f\mathrm{d}{\mu }_r.$

D'après l'inégalité de Jensen ou celle de Hölder, pour une mesure de probabilité, la norme Modèle:Math est une fonction croissante de Modèle:Math. En appliquant le théorème de Fubini, on en déduit : Modèle:Retrait

ce qui garantit au passage que Modèle:Math mais montre surtout que (d'après l'hypothèse 3) $\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\Vert (f_r{)}_{|K}-f_{|K}{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p(\lambda )}=0$ uniformément par rapport à Modèle:Math B, si bien que pour démontrer la précompacité (pour la norme Modèle:Math) de BModèle:Ind, il suffit de vérifier, pour tout Modèle:Math, celle de l'ensemble Modèle:Retrait Il est même précompact pour la norme de la convergence uniforme sur Modèle:Math car le théorème d'Ascoli s'applique. On montre en effet qu'en tout point Modèle:Math, cet ensemble est :

• équicontinu d'après l'hypothèse 3 car (en réutilisant la croissance des normes)Modèle:Retrait
• borné d'après l'hypothèse 1 car (par un calcul analogue) Modèle:Retrait

Références

• Modèle:Brezis, p. 72
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:OuvrageModèle:Commentaire biblio SRL
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