Théorème de Hadwiger

Modèle:Confusion Le théorème de Hadwiger est un théorème de géométrie intégrale (aussi appelée théorie des probabilités géométriques). Il caractérise les valuations sur les volumes convexes dans ${ℝ}^n$. Le théorème a été prouvé par Hugo Hadwiger.

Préliminaires

Valuations

Soit $K^n$ la famille de tous les ensembles convexes et compacts dans ${ℝ}^n$. Une valuation est une fonction $v:K^n\to ℝ$ telle que $v(\mathrm{\varnothing })=0$ et

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T).$

pour tous $S,T\in K^n$ tels que $S\cup T\in K^n$.

Une valuation est dite continue si elle est continue pour la métrique de Hausdorff. Une valuation est dite invariante par déplacements si $v(\varphi (S)=v(S)$ pour $S\in K^n$ et pour toute fonction $\varphi$ qui est une translation ou une rotation de ${ℝ}^n$.

Intégrales quermass

Les intégrales quermass $W_j:K^n\to ℝ$ sont définies via la formule de Steiner :

${\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n(K+tB)=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})W_j(K)t^j,$

où $B$ est la boule euclidienne. Par exemple, $W_0$ est le volume, $W_1$ est proportionnel à la mesure de surface, $W_{n-1}$ est proportionnel à la largeur moyenne et $W_n$ est la constante ${\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n(B)$. $W_j$ est une valuation homogène de degré $n-j$, c'est-à-dire

$W_j(tK)=t^{n-j}{W}_j(K),t\ge 0.$

Corollaire

Toute valuation continue $v$ sur $K^n$ invariante par déplacements et homogène de degré $j$ est un multiple de $W_{n-j}$.

Notes et références

Modèle:Références Une description et une preuve du théorème de Hadwiger sont données dans

• Modèle:Ouvrage.

Une autre preuve est donnée par D. A. Klain :

• Modèle:Article

Une preuve élémentaire et self-contained a été donnée par Beifang Chen dans

• Modèle:Article