Théorème de Helmholtz-Hodge

En mathématiques et en physique, dans le domaine de l’analyse vectorielle, le théorème de Helmholtz-Hodge, également appelé théorème fondamental du calcul vectoriel, assure qu'un champ vectoriel se décompose en une composante « longitudinale » (irrotationnelle) et une composante « transverse » (solénoïdale), soit la somme du gradient d’un champ scalaire et du rotationnel d’un champ vectoriel.

Ce résultat possède des applications importantes en électromagnétisme et en mécanique des fluides ; il est également exploité en sismologie.

Énoncé du théorème

Remarques :

• L’égalité $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{A}-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\psi$ s’appelle la décomposition de Helmholtz.
• Lorsque le domaine est borné, il n’est pas toujours possible de garantir l’orthogonalité de la décomposition et elle n’est jamais unique.
• L’hypothèse de connexité n’est pas essentielle puisque le théorème peut s’appliquer séparément à chaque partie connexe.
• Certaines hypothèses de l’énoncé peuvent être affaiblies, en particulier sur la régularité de $\overrightarrow{V}$ et la forme de $\mathrm{\Omega }$, ou sur la décroissance de $\overrightarrow{V}$ à l’infini.

Courte preuve à l'aide de la transformée de Fourier

Le principal souci avec cette approche est la question de la convergence des transformées de Fourier, notamment dans le cas où le domaine est ${ℝ}^3$ en entier.

Contre-exemple à l’unicité de la décomposition

Considérons une décomposition d’un champ $\overrightarrow{V}$ supposée vérifiée sur un domaine donné a priori quelconque :

$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{A_1}-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{\psi }_1.$

Partant d’un vecteur $\overrightarrow{b}$ constant et non nul choisi arbitrairement, puis définissant les deux champs

$\overrightarrow{B}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{r},\phi =\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{r}$

qui vérifient

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\phi =\overrightarrow{b},$

on obtient une deuxième décomposition distincte de la première en se basant sur les champs

$\overrightarrow{A_2}=\overrightarrow{A_1}+\overrightarrow{B},{\psi }_2={\psi }_1+\phi .$

Par ailleurs, même si les termes de la première décomposition sont orthogonaux, il est toujours possible de choisir un $\overrightarrow{b}$ de norme suffisamment élevée de sorte que ce ne soit plus le cas pour la seconde.

Cet exemple simple montre que sur un domaine compact, même avec une frontière parfaitement régulière (une sphère par exemple), l’unicité de la décomposition n’est jamais assurée, même pour un champ infiniment régulier et quelles que soient les conditions de bord qu’il puisse satisfaire.

Dans ${ℝ}^3$ par contre, un champ constant non nul ne respecterait pas l’hypothèse du théorème relative à la décroissance à l’infini.

Autre formulation

Alors que le théorème précédent affirme une décomposition d’un champ en une composante solénoïdale et une composante irrotationnelle, la formulation suivante affirme une recomposition d’un champ à partir d’une divergence et d’un rotationnel. Bien que ces deux résultats ne soient pas directement liés, les arguments des preuves respectives se basent sur des relations semblables. Ils sont toutefois dénommés théorème de Helmholtz.

Remarque :

Le champ $\overrightarrow{V}$ qui est choisi comme candidat dans la démonstration précédente est construit à partir de la décomposition de Helmholtz et des expressions caractérisant $\overrightarrow{A}$ et $\psi$ dans le théorème de Helmholtz-Hodge. En effet :

$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{A},\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\psi$

correspondant à la décomposition

$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{B}+\overrightarrow{E}$

s’écrivent respectivement sur un compact $\mathrm{\Omega }$ :

$\overrightarrow{E}(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}^3}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{V}({𝐫}^{\prime })\mathrm{d}{\omega }^{\prime }-\frac{1}{4\pi }\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}^3}\overrightarrow{V}({𝐫}^{\prime })\cdot \mathrm{d}{\overrightarrow{\sigma }}^{\prime },$

$\overrightarrow{B}(𝐫)=-\frac{1}{4\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}^3}\wedge \overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{V}({𝐫}^{\prime })\mathrm{d}{\omega }^{\prime }-\frac{1}{4\pi }\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\frac{(𝐫-{𝐫}^{\prime })}{{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}^3}\wedge [\overrightarrow{V}({𝐫}^{\prime })\wedge \mathrm{d}{\overrightarrow{\sigma }}^{\prime }].$

Ainsi, lorsque $\mathrm{\Omega }={ℝ}^3$, les intégrales de surface disparaissent, ce qui conduit au corollaire suivant :

Application aux potentiels

Dans l’espace entier

Dans ${ℝ}^3$ et sous les hypothèses du théorème de Helmholtz-Hodge, les expressions caractérisant les champs $\overrightarrow{A}$ et $\psi$ permettent d’affirmer les propriétés suivantes :

• Si le champ $\overrightarrow{V}$ est irrotationnel $(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{V}=0)$ , alors il dérive d’un potentiel scalaire : il existe un champ scalaire $\psi$ tel que

$\overrightarrow{V}=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\psi .$

• Si le champ $\overrightarrow{V}$ est solénoïdal $(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{V}=0)$ , alors il dérive d’un potentiel vecteur : il existe un champ vectoriel $\overrightarrow{A}$ tel que

$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{A}.$

Dans une partie de l’espace

Sur un domaine $\mathrm{\Omega }$ qui n’est qu’une partie de ${ℝ}^3$, l’existence de potentiels est plus complexe : en particulier, elle n’est en aucun cas assurée lorsque le domaine admet un « trou ».

Potentiel scalaire

Si $\mathrm{\Omega }$ est connexe par arcs et simplement connexe (sans « trous »), un champ $\overrightarrow{V}$ continu et irrotationnel admet un potentiel scalaire.

On le montre en choisissant un point arbitraire ${𝐫}_0$ dans $\mathrm{\Omega }$, puis en définissant « explicitement » pour tout $𝐫$ dans $\mathrm{\Omega }$ :

$\psi (𝐫)=-\underset{{\mathrm{\Gamma }}_{[{𝐫}_0,𝐫]}}{\int }\overrightarrow{V}({𝐫}^{\prime })\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}$ où ${\mathrm{\Gamma }}_{[{𝐫}_0,𝐫]}$ est une courbe orientée reliant ${𝐫}_0$ à $𝐫$.

La relation conduit bien à $\overrightarrow{V}=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\psi ,$ et la consistance de cette définition découle du théorème du rotationnel (celui qui identifie le flux du rotationnel d’un champ à travers une surface et la circulation du champ sur sa frontière) car il assure que la valeur $\psi (𝐫)$ est indépendante du choix du chemin : pour deux chemins reliant $[{𝐫}_0,𝐫]$, leur réunion est une courbe fermée $\mathrm{\Gamma }$ sur laquelle une surface $S$ de bord $\partial S=\mathrm{\Gamma }$ peut être construite (c’est précisément ici qu’intervient l’hypothèse de connexité simple).

Potentiel vecteur

Si $\mathrm{\Omega }$ est un ouvert étoilé et que le champ $\overrightarrow{V}$ est solénoïdal $(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{V}=0)$ et de classe ${𝒞}^1$, alors il dérive d’un potentiel vecteur : il existe un champ vectoriel $\overrightarrow{A}$ tel que

$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{A}.$

Après l’avoir formulée adéquatement en termes de formes différentielles, cette propriété est une application directe du lemme de Poincaré qui affirme qu’une forme différentielle de degré un, de classe $C^1$ sur un ouvert étoilé est exacte si et seulement si elle est fermée.

Voir aussi

• Analyse vectorielle et les articles s'y référant.