Théorème de Midy

En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français Étienne MidyModèle:,, est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction Modèle:Sfrac (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où p est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit paire. Une telle fraction s'écrit

$\frac{a}{p}=0,\overline{a_1{a}_2{a}_3\dots a_k{a}_{k+1}\dots a_{2k}}$

et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes :

$a_i+a_{i+k}=9$

ou encore :

$a_1\dots a_k+a_{k+1}\dots a_{2k}=10^k-1.$

Par exemple,

$\frac{3}{7}=0,\overline{428571}\text{ et }428+571=999.$

On peut donner des preuves expéditives de ce théorème en utilisant la théorie des groupes. On peut aussi le démontrer par des calculs d'algèbre élémentaire et de congruence sur les entiers.

Théorème de Midy dans d'autres bases

Le théorème de Midy ne dépend pas de propriétés particulières du développement décimal, c'est-à-dire qu'il est encore valable dans n'importe quelle base b non divisible par p, à condition bien sûr de remplacer 10Modèle:Exp – 1 par bModèle:Exp – 1 et 9 par b – 1.

(Accessoirement, on peut en déduire que si Modèle:Math et si Modèle:Math n'est pas un résidu quadratique modulo Modèle:Math, le chiffre de rang Modèle:Sfrac du développement de Modèle:Sfrac en base Modèle:Math vaut Modèle:Math.)

Par exemple, en base cinq :

$\frac{3}{7}=0,{\overline{203241}}_5\text{ et }203_5+241_5=444_5.$

La seconde des deux formulations du théorème en base b = 10 données en introduction peut d'ailleurs s'interpréter comme un cas particulier de la première, pour un développement 2-périodique en base B = 10Modèle:Exp. De même, l'exemple ci-dessus, 6-périodique en base b = 5, se réécrit comme 2-périodique en base B = 125 :

$\frac{3}{7}=0,{\overline{(53)(71)}}_{125}\text{ et }53+71=124.$

Compte tenu de cette remarque, le théorème de Midy en base quelconque s'écrit donc simplement : si p est un nombre premier ne divisant pas B et si le développement de Modèle:Sfrac en base B s'écrit Modèle:Math, alors Modèle:Math.

Théorème de Midy étendu

De même, on peut donner du théorème de Midy étenduModèle:, une reformulation simple : Modèle:Énoncé L'encadrement de l'entier s vient du fait que les h chiffres, tous compris entre 0 et B – 1, ne peuvent pas être tous nuls ni tous égaux à B – 1, puisque h > 1.

Le théorème de Midy original est le cas h = 2 : dans ce cas, 0 < s < 2 donc s = 1.

Lorsque h > 2, s peut être supérieur à 1 ; pour h = 3, on a cependant encore s = 1 si Modèle:Math est égal à 1, 2 ou 3, sauf, dans certaines bases, si Modèle:Math et Modèle:Math.

Par exemple, en reprenant Modèle:Sfrac, on a également :

• en bases cent et dix :
  $42+85+71=198=2\times 99\text{ et }4+2+8+5+7+1=27=3\times 9;$
• en bases vingt-cinq et cinq (puisque Modèle:Math) :
  $10+17+21=2\times 24\text{ et }2+0+3+2+4+1=3\times 4.$

Cas p non premier

Dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Midy (même non étendu), la primalité de p est cruciale. Par exemple (en base mille) :

$\frac{1}{21}=0,{\overline{(047)(619)}}_{1000}\text{mais}047+619\ne 999.$

En effet, lorsqu'on ne suppose plus que p est un nombre premier ne divisant ni a ni B, mais seulement que p est un entier premier avec a et B, si la période — c'est-à-dire l'ordre multiplicatif de B mod p — est égale à 2, on n'a plus nécessairement B ≡ –1 mod p. Or c'est sous cette forme que le critère apparaît naturellement, dans une démonstration qui n'utilise même pas la 2-périodicité (elle s'en déduit)Modèle:, :

Modèle:Démonstration/début Notons Modèle:Math le réel représenté en base Modèle:Math par Modèle:Math. Ainsi, Modèle:Math.

• Supposons que Modèle:Math (donc Modèle:Math et Modèle:Math sont premiers entre eux et le développement de Modèle:Sfrac est unique). Puisque Modèle:Sfrac Modèle:Math est à la fois entier (égal à Modèle:Math) et strictement compris entre Modèle:Math et Modèle:Math, il est égal à Modèle:Math. Par unicité des développements Modèle:Math et Modèle:Math, on en déduit que Modèle:Math.
• Réciproquement, supposons que Modèle:Math. Alors, Modèle:Math est entier (égal à Modèle:Math) donc (comme Modèle:Math et Modèle:Math sont premiers entre eux) Modèle:Math divise Modèle:Math, autrement dit : Modèle:Math.

On peut cependant remarquer — toujours en supposant que l'ordre multiplicatif de B mod p est 2, c'est-à-dire que p divise BModèle:2 – 1 mais ne divise pas B – 1 — que si B – 1 est premier avec p (en particulier si p est une puissance d'un nombre premier impair), la condition B ≡ –1 mod p est encore automatiquement vérifiée.

Preuve du théorème étendu

Soient Modèle:Math un nombre premier ne divisant pas la base Modèle:Math, et Modèle:Sfrac une fraction strictement comprise entre Modèle:Math et Modèle:Math et dont le développement Modèle:Math en base Modèle:Math est de période Modèle:Math. [[Développement décimal périodique#Cycle et permutation|On peut alors démontrer que Modèle:Math]] est l'ordre multiplicatif de Modèle:Math modulo Modèle:Math (c'est-à-dire le plus petit entier Modèle:Math tel que Modèle:Math divise Modèle:Math), en particulier Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math (puisque Modèle:Math) et Modèle:Math est un entier.

Notons Modèle:Math l'[[Identité remarquable#Différence ou somme de puissances|entier Modèle:Sfrac]]. Alors, Modèle:Math et Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math donc il divise Modèle:Math, si bien que la fraction

$\frac{N}{B-1}=\frac{m}{p}$

est un entier. A fortiori :

$aN\equiv 0(\mathrm{mod}B-1).$

Or l'entier Modèle:Math est égal à Modèle:Math, donc s'écrit Modèle:Math en base Modèle:Math. Par conséquent, modulo Modèle:Math, on a bien :

$\sum _{i=1}^h{a}_i=\sum _{i=1}^h{a}_i{1}^{h-i}\equiv \sum _{i=1}^h{a}_i{B}^{h-i}=aN\equiv 0.$

Liens externes

• Modèle:Mathworld