Théorème de Niemytzki-Tychonoff

Le théorème de Niemytzki-Tychonoff est une caractérisation de la compacité des espaces métrisables. Il a été démontré en 1928 par V. Niemytzki et A. TychonoffModèle:,Modèle:,. Hausdorff l'a redémontré en 1930 comme corollaire de son théorème de prolongement des homéomorphismesModèle:,.

Énoncé

Soit X un espace métrisable. Les propositions suivantes sont équivalentesModèle:, :

1. X est compact ;
2. X est complet pour toute distance induisant sa topologie.

Démonstration

Le sens 1 implique 2 est facile : tout espace métrique compact est complet.

La réciproque est le sens « difficile » de ce théorème. On va démontrer la contraposée, pour cela on suppose X non compact pour la topologie induite par une distance d, et on va construire une distance d' topologiquement équivalente à d telle que (X, d' ) ne soit pas complet. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, la non-compacité de (X, d) entraîne l'existence d'une suite Modèle:Math n'ayant aucune valeur d'adhérence. Le but est alors de chercher une distance d' équivalente à d, pour laquelle la suite Modèle:Math soit de Cauchy.

Première méthode

Définissons d' comme le sup des écarts e sur X qui sont majorés par d et qui vérifient en outre

$\mathrm{\forall }n\ge 1,\mathrm{\forall }p,q\ge n,e(x_p,x_q)\le 1/n$.

Par construction dModèle:' est un écart, l'application identité de (X, d) dans (X, dModèle:') est continue, et la suite Modèle:Math est de Cauchy pour dModèle:'. Il reste à prouver que l'application identité de (X, dModèle:') dans (X, d) est continue (ce qui justifiera du même coup que (X, dModèle:') est séparé donc que d' est bien une distance et pas seulement un écart).

Pour prouver la continuité de l'application identité de (X, d') dans (X, d) en un point quelconque Modèle:Math de X, remarquons d'abord que — le point Modèle:Math n'étant pas valeur d'adhérence de Modèle:Math — il existe un εModèle:Ind > 0 qui minore tous les Modèle:Math à partir d'un certain rang.

Fixons un ε > 0, inférieur à εModèle:Ind. Il existe un entier N, que l'on peut choisir supérieur à 1/ε, vérifiant :

$\mathrm{\forall }n>N,d(x_n,a)\ge \epsilon .$

Considérons alors la fonction Modèle:Math définie sur X parModèle:Retrait puis l'écart e défini par Modèle:Math. AlorsModèle:Retraitet pour tous entiers n supérieur ou égal à 1 et p, q supérieurs ou égaux à n on a :

• si n > N alors Modèle:Math = 0,
• sinon, Modèle:Math est majoré (comme tous les Modèle:Math) par 1/N donc par 1/n.

L'écart Modèle:Math fait donc partie des écarts dont dModèle:' est le sup, si bien que pour tout Modèle:Math tel que Modèle:Math on a Modèle:Math, donc Modèle:Math, donc Modèle:Math, ce qui termine la preuve de la continuité au point Modèle:Math de l'application identité de (X, d') dans (X, d).

Seconde méthode

L'application s définie sur X par Modèle:Retrait est continue (car 1-lipschitzienne par rapport à d) et strictement positive (car aucun Modèle:Math n'est valeur d'adhérence de Modèle:Math).

À équivalence près (topologique et même uniforme), on peut toujours supposer que d était majorée par 2. L'application d' définie par

est alors une distance sur X et (d'après les deux propriétés de s) elle est topologiquement équivalente à d. De plus, puisque Modèle:Math, la suite Modèle:Math est de Cauchy pour d'.