Théorème de Rellich

Le théorème de Rellich-Kondrachov est un théorème d'analyse, la branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Énoncé

Si $\mathrm{\Omega }$ est un ouvert borné de classe de régularité $C^1$, alors de toute suite bornée de $H^1(\mathrm{\Omega })$ on peut extraire une sous-suite convergente dans ${\mathrm{L}}^2(\mathrm{\Omega })$ (on dit que l'injection canonique de $H^1(\mathrm{\Omega })$ dans ${\mathrm{L}}^2(\mathrm{\Omega })$ est compacte).

Remarques

On se place dans $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$.

$H^1(\mathrm{\Omega })$ désigne un espace de Sobolev.

${\mathrm{L}}^2(\mathrm{\Omega })$ désigne un espace L^p avec p = 2.

Le caractère $C^1$ de $\mathrm{\Omega }$ a un sens particulier : il s'agit de la régularité du bord.

L'inclusion de $H^1({ℝ}^n)$ dans ${\mathrm{L}}^2({ℝ}^n)$ n'est pas, elle, compacte.

Modèle:DémonstrationCertains auteurs utilisent le nom de "théorème de Rellich-Kondrachov" pour le théorème de prolongement de Sobolev qui généralise celui de cet article.

Démonstration

La preuve se base sur le théorème de Fréchet-Kolmogorov qui caractérise les sous-ensembles relativement compacts de $L^p({ℝ}^n)$.

Applications

Rappelons que $H^1(\mathrm{\Omega })$ est un espace de Hilbert lorsque muni du produit hermitien suivant :

$(u,v)\mapsto \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }\bar{v}+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u\bar{v}$

(où $\mathrm{\nabla }$ dénote le gradient, $a\cdot b$ le produit scalaire usuel entre $a,b\in {ℝ}^n$ et $\stackrel{}{‾}$ dénote le complexe conjugé).

Dès lors, comme toute suite faiblement convergente est bornée, le théorème de Rellich implique que toute suite faiblement convergente dans $H^1(\mathrm{\Omega })$ possède une sous-suite qui converge fortement dans $L^2(\mathrm{\Omega })$ (autrement dit, qui converge pour la topologie induite par la norme $L^2$ sur $\mathrm{\Omega }$).

En outre, le théorème de Rellich–Kondrachov peut être utilisé pour prouver l'inégalité de Poincaré.

Bibliographie

• Modèle:En Modèle:Lien, « On certain properties of functions in the space Lp », Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 48, 1945, p. 563-566
• Modèle:Article