Théorème de Schmidt (théorie des groupes)

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Modèle:Confusion

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de Schmidt, démontré par Otto Schmidt en 1924[1], dit que si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, G est résoluble[2]. Modèle:Nobr a donné une description plus précise du groupe G sous les mêmes hypothèses[3].

Démonstration

On raisonne par récurrence sur l'ordre du groupe. Les groupes cycliques sont résolubles. On suppose donc, pour un certain n, que l'énoncé est vrai pour tous les groupes d'ordre < n, et que G est un groupe non cyclique d'ordre n (donc n > 1) dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents. D'après le lemme 2 ci-dessous, G n'est pas simple. Par hypothèse de récurrence et d'après le théorème de correspondance, il est donc résoluble (car la nilpotence passe aux quotients et la résolubilité aux extensions).

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration/début Supposons qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal. Alors :

  • pour tout sous-groupe maximal H, le normalisateur de H est réduit à H donc le nombre des conjugués de H est égal à l'indice (≥ 2) de H ;
  • G n'est pas cyclique, donc :
    • l'indice de tout sous-groupe maximal est majoré par |G|/2 ;
    • G est la réunion de ses sous-groupes maximaux.

Les H\{e} pour H maximal (où e désigne l'élément neutre) étant de plus supposés disjoints 2 à 2, ils forment une partition de G\{e}. En notant c le nombre de leurs classes de conjugaison, hModèle:Ind l'indice des sous-groupes de la i-ème classe et g l'ordre de G, on en déduit une contradiction : Modèle:Retrait Modèle:Démonstration/fin

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration/début Parmi les intersections de deux sous-groupes maximaux distincts (s'il en existe), soit I = H ∩ K d'ordre maximum. C'est un sous-groupe propre du groupe nilpotent H donc l'inclusion de I dans le normalisateur NModèle:Ind(I) est stricte. Par maximalité de |I|, le seul sous-groupe maximal de G contenant NModèle:Ind(I) est donc H. De même, K est le seul sous-groupe maximal contenant NModèle:Ind(I). Le sous-groupe NModèle:Ind(I), qui contient à la fois NModèle:Ind(I) et NModèle:Ind(I), n'est donc inclus dans aucun sous-groupe maximal, c'est-à-dire qu'il est égal à G, ou encore, que I est normal.

Si G est simple, on déduit que |I| = 1 (ou alors, G n'a qu'un sous-groupe maximal). On peut donc appliquer le lemme 1 : l'un des sous-groupes maximaux de G est normal. Comme G est supposé non cyclique, ce sous-groupe n'est pas trivial, ce qui contredit la simplicité de G. Modèle:Démonstration/fin

Précisions sur la structure du groupe

Modèle:Énoncé

Modèle:Démonstration/début Tout p-groupe fini est nilpotent. Supposons que |G| a au moins trois diviseurs premiers. Puisque (d'après le théorème de Schmidt) G est résoluble, il possède un sous-groupe normal H d'indice premier p. Comme H est un sous-groupe propre de G, il est nilpotent. Ses sous-groupes de Sylow sont par conséquent (pleinement) caractéristiques dans H donc normaux dans G. Choisissons dans G, pour chaque diviseur premier q de |G|, un q-Sylow PModèle:Ind. D'après ce qui précède, pour tout q ≠ p, PModèle:Ind est normal dans G. Comme chaque PModèle:IndPModèle:Ind (pour q ≠ p) est nilpotent (car propre dans G), PModèle:Ind est centralisé par tous les PModèle:Ind si bien qu'il est, comme eux, normal dans G. Par conséquent, G est nilpotent. Modèle:Démonstration/fin

Nombres nilpotents

Un nombre nilpotent est un entier n ≥ 1 tel que tout groupe d'ordre n soit nilpotent[4]. Les nombres nilpotents sont caractérisés par le théorème suivant[5]Modèle:,[6] :

Modèle:Énoncé

Modèle:Démonstration

(En particulier, les nombres nilpotents pairs sont donc[6] les puissances de 2.)

Pour tout entier c ≥ 1, on a un énoncé plus précis concernant la classe de nilpotence : Modèle:Énoncé

Modèle:Démonstration

Notes et références

  1. ↑ Modèle:De O. J. Schmidt, « Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind », Recueil Mathématique [Mat. Sbornik], Moscou, vol. 31, 1924, Modèle:P.. (Référence donnée par Modèle:Ouvrage.) Original russe en ligne.
  2. ↑ Pour une démonstration du théorème sous cette forme, voir Modèle:Lien web.
  3. ↑ Modèle:De K. Iwasawa, « Ueber die Struktur der endlichen Gruppen, deren echte Untergruppen sämtlich nilpotent sind », Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, vol. 23, 1941, Modèle:P.. (Référence donnée par Modèle:Harvsp.)
  4. ↑ Modèle:En OEIS Modèle:OEIS2C : suite des nombres nilpotents.
  5. ↑ Modèle:Article.
  6. ↑ 6,0 et 6,1 Modèle:Article (caractérisation des nombres résolubles, nilpotents, abéliens ou cycliques).

Liens externes

Modèle:Portail

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