Théorème de Stampacchia

Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.

Énoncé

Soient

• $\mathscr{H}$ un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté $⟨.,.⟩$ (la norme induite étant notée $\Vert u\Vert =⟨u,u{⟩}^{1/2}$).
• $K$ une partie convexe fermée non vide de $\mathscr{H}$
• $a(.,.)$ une forme bilinéaire qui soit
  • continue sur $\mathscr{H}\times \mathscr{H}$ : $\mathrm{\exists }c>0\mathrm{\forall }u,v\in \mathscr{H}\Vert a(u,v)\Vert \le c\Vert u\Vert \Vert v\Vert$
  • coercive sur $\mathscr{H}$ : $\mathrm{\exists }\alpha >0\mathrm{\forall }u\in \mathscr{H}a(u,u)\ge \alpha \Vert u{\Vert }^2$
• $L(.)$ une forme linéaire continue sur $\mathscr{H}$

Sous ces conditions, il existe un unique $u$ de $K$ tel que

$(1)\mathrm{\forall }v\in Ka(u,v-u)\ge L(v-u)$

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors ce même $u$ est l'unique élément de $K$ qui minimise la fonctionnelle $I:\mathscr{H}\to ℝ$ définie par $I(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-L(v)$ pour tout $v$ de $K$, en particulier :

$(2)\mathrm{\exists }!u\in KI(u)=\underset{v\in K}{\min }I(v)$

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f\in \mathscr{H}$ tel que

$\mathrm{\forall }v\in \mathscr{H},Lv=⟨f,v⟩.$

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A\in ℒ(\mathscr{H})$ tel que

$\mathrm{\forall }u,v\in \mathscr{H},a(u,v)=⟨Au,v⟩.$

De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où

$(3)\mathrm{\forall }u\in \mathscr{H}\Vert A(u)\Vert \le c\Vert u\Vert$

Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente

$\mathrm{\exists }!u\in K\mathrm{\forall }v\in K⟨f-A(u),v-u⟩\le 0$

Pour tout réel $r$ strictement positif, c'est également équivalent à

$\mathrm{\exists }!u\in K\mathrm{\forall }v\in K⟨rf-rA(u)+u-u,v-u⟩\le 0$

Ce qui, en utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, se réécrit

$\mathrm{\exists }!u\in Ku=p_K(rf-rA(u)+u)$

où $p_K$ est l'opérateur de projection sur $K$. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que pour un certain $r>0$, il existe un unique $u\in K$ qui vérifie l'équation de point fixe $u=P_r(u)$ où l'application $P_r:K\to K$ est définie par $P_r(v)=p_K(rf-rA(v)+v)$.

Pour cela, choisissons $r$ de telle façon que $P_r$ soit une application contractante. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $K$. Comme l'opérateur de projection $p_K$ est 1-lipschitzien, on a

$\Vert P_r(x)-P_r(y)\Vert \le \Vert x-y-rA(x-y)\Vert$

D'où

$\Vert P_r(x)-P_r(y){\Vert }^2\le \Vert x-y{\Vert }^2+r^2\Vert A(x-y){\Vert }^2-2r⟨x-y,A(x-y)⟩$

Comme la forme bilinéaire $a$ est coercive, on a $⟨A(x-y),x-y⟩=a(x-y,x-y)\ge \alpha \Vert x-y{\Vert }^2$. Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité $\Vert A(x-y)\Vert \le c\Vert x-y\Vert$. Par conséquent,

$\Vert P_r(x)-P_r(y){\Vert }^2\le (1+r^2{c}^2-2r\alpha )\Vert x-y{\Vert }^2$

L'application $P_r$ est contractante dès que $1+r^2{c}^2-2r\alpha <1$, c'est-à-dire si on a $0<r<2\alpha /c^2$. En choisissant un tel $r$ et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique $u\in K$ tel que $u=p_K(rf-rA(u)+u)$, ce qui conclut la démonstration.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire $a$ est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur $\mathscr{H}$. La coercivité implique que $a$ est définie et positive. On note par $⟨.,.{⟩}_a$ ce produit scalaire qui est défini par :

$\mathrm{\forall }x,y\in \mathscr{H}⟨x,y{⟩}_a=a(x,y)$

Par application du théorème de Riesz (Attention, pour utiliser le théorème de Riesz, il faut vérifier que l'espace muni du nouveau produit scalaire est bien de Hilbert : procéder par équivalence des normes) sur les formes linéaires, il existe un unique $f\in \mathscr{H}$ tel que $L(v)=⟨f,v{⟩}_a$ pour tout $v\in \mathscr{H}$.

La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :

$\mathrm{\exists }!u\in K\mathrm{\forall }v\in K⟨f-u,v-u{⟩}_a\le 0$

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

$\mathrm{\exists }!u\in Ku=p_K^a(f)$

où $p_K^a$ est l'opérateur de projection sur $K$ utilisant le produit scalaire défini par $a$. La relation (1) est donc équivalente à :

$⟨f-u,f-u{⟩}_a=\underset{v\in K}{\min }⟨f-v,f-v{⟩}_a$

soit encore

$⟨u,u{⟩}_a-2⟨f,u{⟩}_a=\underset{v\in K}{\min }(⟨v,v{⟩}_a-2⟨f,v{⟩}_a)$

ou bien

$\frac{1}{2}a(u,u)-L(u)=\underset{v\in K}{\min }(\frac{1}{2}a(v,v)-L(v))$,

ce qui conclut la démonstration.

Applications

• Ce théorème sert notamment en mécanique où $I$ est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les théorèmes énergétiques de mécanique.
• Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de formulations faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
• Voir un exemple d'application au problème de l'obstacle