Théorème de Steinhaus

Le théorème de SteinhausModèle:, est un résultat mathématique d'analyse réelle selon lequel si une partie $A$ de l'espace euclidien ${ℝ}^n$ est mesurable et de mesure strictement positive, alors l'ensemble $A-A$ des différences d'éléments de $A$ contient une boule de centre 0 et de rayon non nul. Il se généralise aux groupes localement compacts et aux différences de deux parties non nécessairement égales.

Généralisations

• Si Modèle:Math est un groupe localement compact et Modèle:Math une partie de Modèle:Math de mesure de Haar (à gauche) strictement positive, alors l'ensemble$A{A}^{-1}=\{a{b}^{-1}\mid a,b\in A\}$est un voisinage de l'élément neutre.
• La conclusion s'étend au produit de deux parties non nécessairement symétriques l'une de l'autre : si Modèle:Math et Modèle:Math sont deux parties de Modèle:Math de mesures de Haar non nulles, alors l'ensemble$AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$est d'intérieur non vide.
• La conclusion s'étend aussi, dans un groupe topologique quelconque, à toute partie Modèle:Math non maigre ayant la propriété de Baire, c'est-à-dire égale à un ouvert à un maigre prèsModèle:,.

Démonstrations

• La preuve suivante de la première généralisation est due à Karl Stromberg. Notons Modèle:Math la mesure de Haar et supposons que Modèle:Math. Par régularité de Modèle:Math, il existe un compact Modèle:Math inclus dans Modèle:Math et un ouvert Modèle:Math contenant Modèle:Math tels que Modèle:Math et Modèle:Math, donc tels que Modèle:Math. Comme l'ouvert Modèle:Math contient le compact Modèle:Math, il contient Modèle:Math pour un certain voisinage Modèle:Math de l'élément neutre. On conclut en montrant que Modèle:Math est inclus dans Modèle:Math : pour tout Modèle:Math, Modèle:Math donc Modèle:Math est non vide, autrement dit Modèle:Math.
• La preuve suivante de la deuxième généralisation est due à André WeilModèle:,. Soient Modèle:Math et Modèle:Math de mesures strictement positives et finies. Le produit de convolution de leurs indicatrices est une fonction continue. D'après le théorème de Fubini, cette fonction est non nulle, ce qui conclut.

Corollaire

Dans ZFC (la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix mais sans l'hypothèse du continu), toute partie de ${ℝ}^n$ Lebesgue-mesurable et non négligeable a la puissance du continu.