Théorème de propagation des singularités

Modèle:Orphelin Théorème de propagation des singularités (aussi théorème de Duistermaat-Hörmander) est un résultat mathématique de l'analyse microlocale, qui est l'ensemble de front d'onde (Modèle:En anglais) de la solution distributionnelle de l'équation (pseudo-)différentielle partielle

$Pu=f$

pour un opérateur pseudo-différentiel $P$ sur une variété lisse. Il dit que la propagation des singularités le long du flux bi-caractéristique des symboles principaux découle de $P$.

Le théorème est apparu 1972 dans un travail sur les intégrateurs de Fourier par Johannes Jisse Duistermaat et Lars Hörmander.

Propagation des singularités

Soit:

• $X$ est variété lisse
• $L_{\sigma ,\delta }^m(X)$ est la classe des opérateurs pseudo-différentiels de type $(\sigma ,\delta )$ avec symbole $a(x,y,\theta )\in S_{\sigma ,\delta }^m(X\times X\times {ℝ}^n)$
• $S_{\sigma ,\delta }^m$ est la classe des symboles
• $L_1^m(X):=L_{1,0}^m(X)$
• $D^{\prime }(X)=(C_0^{\mathrm{\infty }}(X){)}^{*}$ est l'espace des distributions

Système hamiltonien du symbole principal

Soit $p_m(x(t),\xi (t))$ la mécanique hamiltonienne, alors le système hamiltonien sur $T^{*}X$ est donné par

$\{\begin{array}{c}\dot{\xi }(t)=-{\mathrm{\nabla }}_x{p}_m(x(t),\xi (t))\\ \dot{x}(t)={\mathrm{\nabla }}_{\xi }{p}_m(x(t),\xi (t)).\end{array}$

Une courbe solution du système est appelée bicaractéristique de $p_m$ et le flux du champ vectoriel hamiltonien est appelé flux bicaractéristique. Les courbes avec $p_m(x(t),\xi (t))=0$ sont dites zéro bicaractéristique et on note l'ensemble par

$\mathrm{char}{p}_m:=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\setminus \{0\}:p_m(x(t),\xi (t))=0\}.$

Théorème

Soit $P$ un opérateur pseudo différentiel réel de classe $L_1^m(X)$ avec un symbole principal réel $p_m(x,\xi )$ qui est homogène et de degré $m$ en $\xi$. Soit $u\in D^{\prime }(X)$ et résout l'équation $Pu=f$ puis suit

$WF(u)\setminus WF(f)\subset \mathrm{char}{p}_m$.

De plus, $WF(u)\setminus WF(f)$ est invariant sous le flot hamiltonien induit par $p_m$.

Bibliographie

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