Théorème de Bernstein sur les fonctions totalement monotones

En analyse fonctionnelle, une branche des mathématiques, le théorème de Bernstein établit que toute fonction à valeurs réelles sur la demi-droite des réels positifs qui est totalement monotone est une combinaison (dans un cas important, une moyenne pondérée ou une espérance mathématique) d'exponentielles.

Énoncé

La « monotonie totale » d'une fonction Modèle:Mvar sur Modèle:Math signifie qu'elle est indéfiniment dérivable sur cet intervalle et que pour tout entier naturel Modèle:Mvar,

$(-1{)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}f\ge 0$.

On dit aussi que Modèle:Mvar est complètement monotone sur Modèle:Math. On dit qu'elle est complètement monotone sur Modèle:Math si elle est de plus définie et continue à droite en Modèle:Math.

La moyenne pondérée peut alors être caractérisée :

Dans un langage plus abstrait, le théorème caractérise les transformées de Laplace des mesures de Borel positives sur Modèle:Math. Sous cette forme, il est connu sous le nom de théorème de Bernstein-Widder, ou de Hausdorff-Bernstein-Widder. Felix Hausdorff, dans sa solution au problème des moments, avait déjà caractérisé les suites complètement monotones.

On peut donner une autre interprétation au théorème, au moins dans le cas où la fonction est continue à droite en Modèle:Math : on peut alors montrer que l'ensemble des fonctions totalement monotones telles que Modèle:Math est convexe (c'est trivial) et compact pour la topologie de la convergence simple. Les exponentielles à exposant négatif sont les points extrémaux de ce compact convexe, et le théorème de Bernstein traduit la représentation intégrale de Choquet. On trouvera les détails dans le livre de Peter Lax.

Liens externes

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