Transformation équiaréale

En géométrie différentielle, une transformation géométrique entre deux surfaces est dite équiaréale (ou équiaire ou encore équisurfacique) si elle conserve les aires.

Définition

Soient $S_1$ et $S_2$ deux surfaces de l'espace euclidien R³, Modèle:Mvar un difféomorphisme local de $S_1$ sur $S_2$ ; Modèle:Mvar est dite équiaréale si l'une quelconque des conditions équivalentes suivantes est réalisée  :

• L'aire de Modèle:Mvar(U) est égale à l'aire de U pour tout ouvert U dans $S_1$ .
• L'image réciproque de l'élément d'aire ${\mu }_{S_2}$ sur $S_2$ est égal à ${\mu }_{S_1}$, l'élément d'aire sur $S_1$ .
• En tout point Modèle:Mvar de $S_1$, et tous vecteurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar tangents à $S_1$ en Modèle:Mvar,

$||d{f}_m(v)\wedge d{f}_m(w)||=||v\wedge w||$

où $\wedge$ désigne le produit vectoriel et Modèle:Mvar la différentielle de Modèle:Mvar .

Si $S_1$ est paramétrée par ${\sigma }_1(u,v)$, et ${\sigma }_2=f\circ {\sigma }_1$, la condition s'écrit donc : $\Vert \frac{\partial {\sigma }_2}{\partial u}\wedge \frac{\partial {\sigma }_2}{\partial v}\Vert =\Vert \frac{\partial {\sigma }_1}{\partial u}\wedge \frac{\partial {\sigma }_1}{\partial v}\Vert$ .

Exemple

Illustration de la projection isocylindrique.

Un exemple de transformation équiaréale est la projection, dite isocylindrique, de la sphère unité Modèle:Nobr privée des deux pôles $(0,0,\pm 1)$, orthogonalement sur le cylindre unité Modèle:Nobr . Une formule explicite est

$f(x,y,z)=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},z)$

pour tout (Modèle:Mvar) de la sphère unité.

Archimède avait déjà démontré que la sphère a la même aire que sa projection sur le cylindre.

Cas des transformations du plan dans lui même

Pour une transformation Modèle:Mvar de R² dans lui-même la condition d'équiaréalité s'écrit $|\det (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})|=1$.

Les transformations équiaréales du plan dans lui-même sont donc les transformations de jacobien $\pm 1$.

Un exemple quadratique est donné par $f(x,y)=(x^2+y^2+2xy+x+2y,x^2+y^2+2xy+y)$.

Cas linéaire

Une transformation linéaire est donc équiaréale si et seulement si elle est de déterminant $\pm 1$ (on peut aussi savoir qu'elle multiplie les aires par la valeur absolue de son déterminant).

Les isométries du plan euclidien en sont des exemples, mais il y en a d'autres, comme les transvections ou les rotations hyperboliques.

Une transvection transforme un rectangle en un parallélogramme de même aire. Sous forme matricielle, une transvection le long de l'axe Modèle:Mvar s'écrit

$\left(\begin{array}{cc}1& v\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+vy\\ y\end{array}\right).$

Une rotation hyperbolique allonge et contracte les côtés d'un rectangle de manière inverse l'une de l'autre, de sorte que l'aire est conservée. Sous forme matricielle, avec λ > 1, elle s'écrit

$\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& 1/\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x\\ y/\lambda \end{array}\right)$.

L'élimination de Gauss-Jordan montre que toute transformation linéaire équiaréale (rotations comprises) peut être obtenue en composant au plus deux transvections le long des axes, une rotation hyperbolique et, si le déterminant est négatif, une réflexion.

Cas des projections cartographiques

Dans le contexte des cartes géographiques, une projection cartographique est dite équivalente, ou authalique, si les rapports des aires sont conservés. Elle est donc équiaréale à un facteur multiplicatif près ; en plongeant de manière évidente dans R³ la carte image, généralement considérée comme un sous-ensemble de R², la condition donnée ci-dessus est alors affaiblie en :

$||d{f}_m(v)\wedge d{f}_m(w)||=K||v\wedge w||$

pour un $K>0$ ne dépendant pas de $v$ et $w$.

La sphère unité de R³ étant paramétrée par $\sigma (\lambda ,\phi )=\left(\begin{array}{c}\cos \lambda \cos \phi \\ \sin \lambda \cos \phi \\ \sin \phi \end{array}\right)$ où $\lambda$ est la longitude et $\phi$ la latitude, et la projection étant définie par $x=x(\lambda ,\phi ),y=y(\lambda ,\phi )$, la condition s'écrit $\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial \lambda }& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial \lambda }& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right|=\pm K\Vert \frac{\partial \sigma }{\partial \lambda }\wedge \frac{\partial \sigma }{\partial \phi }\Vert$, soit $\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial \lambda }& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial \lambda }& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right|=\pm K\cos \phi$ .

Exemples de projections équivalentes :

• la projection cylindrique de Lambert définie par $x=\lambda ,y=\sin \phi$

• la projection de Peters définie par $x=\lambda ,y=2\sin \phi$

• la projection sinusoïdale définie par $x=\lambda \cos \phi ,y=\phi$

• la projection azimutale de Lambert

Articles connexes

• Matrice jacobienne et déterminant
• Transformation conforme