Transformée de Stieltjes
Modèle:Ébauche En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure à densité Modèle:Math sur un intervalle Modèle:Math est une fonction de la variable complexe z, définie à l'extérieur de cet intervalle par la formule :
Sous certaines conditions on peut reconstituer la densité d'origine à partir de sa transformée grâce à la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. Par exemple, si la densité Modèle:Math est continue sur Modèle:Math, on aura à l'intérieur de cet intervalle :
Relations avec les moments de la mesure
Modèle:Voir Si la mesure de densité Modèle:Math a des moments de tout ordre définis pour chaque entier naturel Modèle:Math par l'égalité :
alors la transformée de Stieltjes de Modèle:Math admet pour tout entier le développement asymptotique au voisinage de l'infini :
Sous certaines conditions on obtient le développement en série de Laurent :
Relations avec les polynômes orthogonaux
La correspondance définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur Modèle:Math.
On note Modèle:Math la suite de polynômes, orthonormale pour ce produit scalaire, avec Modèle:Math de degré Modèle:Math pour tout entier, qui vérifie une relation de récurrence à trois termes successifs : Modèle:Retrait on peut en déduire facilement un développement en fraction continue généralisée de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions Modèle:Math[1]Modèle:,[2]: Modèle:Retrait
On associe à la suite des polynômes secondaires définis par la relation :
On montre alors que la fraction rationnelle est un approximant de Padé de Modèle:Math au voisinage de l'infini, au sens où
La transformée de Stieltjes se révèle également un outil précieux pour construire à partir de Modèle:Math une mesure effective rendant les polynômes secondaires orthogonaux.