Univers constructible

Modèle:Homon En mathématiques et en théorie des ensembles, l'univers constructible, ou l'univers constructible de Gödel, noté Modèle:Var, est une classe d'ensembles qui peuvent entièrement être décrits en termes d'ensembles plus simples. Elle a été introduite en 1938 par Kurt Gödel dans son article sur Modèle:Citation. Il y montrait que cette classe est un Modèle:Lien de la théorie ZF et que l'axiome du choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vrais dans ce modèle. Ceci prouve que ces deux propositions sont cohérentes avec les axiomes de ZF, à condition que ZF soit déjà cohérente. De nombreux autres théorèmes (comme les résultats d’existence dépendant du lemme de Zorn) n'étant applicables que si on admet l’axiome du choix, sa cohérence est un résultat important.

Définition

L'univers constructible de Gödel Modèle:Var peut être construit par étapes, de manière similaire à la construction de l'univers de von Neumann, Modèle:Var. Les étapes sont indexées par des nombres ordinaux. Alors que dans l'univers de von Neumann, l'étape Modèle:Math d'un successeur est l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'étape V_α précédente, dans l'univers constructible de Gödel cet ensemble est l'ensemble des sous-ensembles qui sont définissables par une formule Modèle:Var qui respecte les contraintes suivantes :

• Modèle:Var doit être une formule du langage formel de la théorie des ensembles ;
• Modèle:Var ne doit être paramétrée que par des ensembles de l'étape précédente ;
• les variables quantifiées doivent prendre leur domaine dans l'étape précédente.

En construisant une étape uniquement à partir de ce qui a été construit aux étapes précédentes, on s'assure que l'ensemble qui en résulte soit indépendant des particularités du modèle de théorie des ensembles qui sert de base, et soit inclus dans n'importe lequel des modèles de cette théorie.

Définition formelle

Soit

$\begin{array}{cc}\text{Def}(X):=& \{\{y\mid y\in X\text{ et }\mathrm{\Phi }(y,z_1,\dots ,z_n)\text{ est vraie dans }(X,\in )\}\mid \\ & \mathrm{\Phi }\text{ une formule du premier ordre et }{z}_1,\dots ,z_n\in X\}.\end{array}$

Alors, par les règles de récurrence transfinie, on définit :

• $L_0=\varnothing$
• $L_{\alpha +1}=\text{Def}(L_{\alpha })$
• Si $\lambda$ est un ordinal limite, alors $L_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }{L}_{\alpha }.$

L'univers L est alors défini comme l'union de tous les L_α Modèle:Note :

• $L=\bigcup _{\alpha }{L}_{\alpha }.$

Si z appartient à L_α, alors z = {y | y ∈ L_α et y ∈ z} ∈ Modèle:Math(L_α) = L_α+1. Par conséquent L_α est inclus dans L_α+1, qui est un sous-ensemble de l'ensemble des parties de L_α. L est donc une tour d'ensembles transitifs emboîtés.

Les éléments de la classe Modèle:Var sont appelés ensembles constructibles ; Modèle:Var est appelé l'univers constructible. Modèle:Math et L sont définissables. L'axiome de constructibilité, qu'on peut écrire V = L, affirme que tout ensemble de V est constructible, c'est-à-dire qu'il est aussi dans L.

Quelques développements sur L

On peut également définir Modèle:Var par la formule Modèle:Indente

Les ensembles Modèle:Var et Modèle:Var sont identiques pour n'importe quel ordinal Modèle:Var fini, qu'on accepte ou rejette l'axiome de constructibilité. Par conséquent Modèle:Math : leurs éléments sont exactement les Modèle:Lien. Pour les ordinaux plus grands, l'égalité n'est plus valide. Même pour les modèles de ZFC dans lesquels Modèle:Var est égal à Modèle:Var, Modèle:Math est un sous-ensemble strictement inclus dans Modèle:Math, ce qui entraîne que Modèle:Math est un sous-ensemble strict de l'ensemble des parties de Modèle:Math pour tout Modèle:Math.

Pour un ordinal infini Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont en bijection, par une bijection constructible. Ces ensembles sont donc équipotents dans n'importe quel modèle de théorie des ensembles les incluant.

Tel que défini au-dessus, Modèle:Math est l'ensemble des sous-ensembles de Modèle:Var définis par des formules de [[Hiérarchie arithmétique|classe Modèle:Math]], les formules de la théorie des ensembles ne comprenant que des Modèle:Lien dont les paramètres sont Modèle:Var ou ses éléments.

Une définition équivalente de Gödel, sans référence à la définissabilité, caractérise chaque LModèle:Ind comme l'intersection de l'ensemble des parties de LModèle:Ind et de la clôture de LModèle:Ind∪{LModèle:Ind} par une collection de neuf fonctions particulières.

Tout sous-ensemble de ω ou relation sur ω qui est arithmétique appartient à L_ω+1, la définition arithmétique en fournissant une dans L_ω+1. Inversement, tout sous-ensemble de ω appartenant à L_ω+1 est arithmétique, car les éléments de L_ω sont codables par des entiers naturels de manière que l'appartenance ∈ soit définissable, donc arithmétique. Cependant, L_ω+2 contient déjà certains sous-ensembles non arithmétiques de ω, comme l'ensemble des (entiers codant des) énoncés arithmétiques vrais : en effet, il est définissable à partir de L_ω+1 ; il appartient donc à L_ω+2.

Tous les sous-ensembles de ω et les relations sur ω qui sont Modèle:Lien appartiennent à $L_{{\omega }_1^{\mathrm{C}\mathrm{K}}}$, où ${\omega }_1^{\mathrm{C}\mathrm{K}}$ désigne l'Modèle:Lien et, inversement, les sous-ensembles de ω appartenant à $L_{{\omega }_1^{\mathrm{C}\mathrm{K}}}$ sont hyperarithmétiques.

L est un modèle intérieur standard de ZFC

Modèle:Var est un modèle « standard », au sens où c'est une classe transitive dont la relation d'appartenance est celle de V. Par conséquent, toute formule Modèle:Math est Modèle:Lien pour L. On en déduit que Modèle:Var est un modèle intérieur, c'est-à-dire une sous-classe de V qui contient tous les ordinaux de Modèle:Var. En effet, on montre par induction transfinie, que α ∈ L_α+1. Modèle:Var est un modèle de ZFC, c'est-à-dire qu'il satisfait les axiomes suivants :

L'axiome de fondation

Tout ensemble non vide Modèle:Var possède un élément Modèle:Var disjoint de Modèle:Var.

Modèle:Retrait

L'axiome d'extensionnalité

Deux ensembles sont identiques si et seulement s'ils ont les mêmes éléments,

Modèle:Retrait

L'axiome de la paire

Si x, y sont des ensembles, alors {x, y} est un ensemble.Modèle:Retrait

L'axiome de l'union

Pour tout ensemble x, il existe un ensemble y dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de x. Modèle:Retrait

L'axiome de l'infini

Il existe un ensemble x tel que ∅ appartienne à x et tel que si y appartient à x, l'union y∪{y} lui appartienne égalementModèle:Retrait

L'axiome de compréhension

Étant donné n'importe quels ensembles S, zModèle:Ind, … , zModèle:Ind et n'importe quelle proposition P(x, zModèle:Ind, … , zModèle:Ind), {x | x ∈ S et P(x, zModèle:Ind, … , zModèle:Ind)} est un ensemble. Modèle:Retrait

L'axiome de remplacement

Étant donné n'importe quel ensemble S et n'importe quelle classe fonctionnelle, définie formellement comme une proposition P(x, y) pour laquelle P(x, y) et P(x, z) implique y = z, Modèle:Nobr est un ensemble. Modèle:Retrait

L'axiome de l'ensemble des parties

Pour tout ensemble Modèle:Var, il existe un ensemble Modèle:Var dont les éléments sont précisément les sous-ensembles de Modèle:Var.

Modèle:Retrait

L'axiome du choix

Étant donné un ensemble Modèle:Var d'ensembles non vides deux à deux disjoints, il y a un ensemble Modèle:Var (appelé ensemble de choix de Modèle:Var) contenant exactement un seul élément pour chaque membre de Modèle:Var.

Modèle:Retrait

Tout l'intérêt de L est que la preuve que c'est un modèle de ZFC nécessite uniquement que V soit un modèle de ZF, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de la validité de l'axiome du choix dans Modèle:Var.

L est absolu et minimal

Soit W un modèle standard de ZF qui possède les mêmes ordinaux que V. L'univers L défini dans W est alors le même que celui défini dans V. En particulier L_α est le même dans V et W pour n'importe quel ordinal α, et les mêmes formules et paramètres dans Modèle:Math(L_α) produisent les mêmes ensembles constructibles dans L_α+1.

De plus, comme L est une sous-classe de V et de W, L est la plus petite classe qui à la fois contient tous les ordinaux et est un modèle standard de ZF. En effet L est l'intersection de toutes ces classes.

S'il existe un ensemble W dans V qui est un modèle intérieur de ZF et si l'ordinal κ est l'ensemble des ordinaux appartenant à W, alors L_κ est le L de W. S'il existe un Modèle:Lien de ZF, alors le plus petit de ces ensembles est un tel L_κ. Cet ensemble est appelé le Modèle:Lien de ZFC. En utilisant le théorème de Löwenheim-Skolem descendant, on peut montrer que le modèle minimal, s'il existe, est nécessairement dénombrable.

Bien sûr, n'importe quelle théorie cohérente doit avoir un modèle, donc il existe des modèles de ZF y compris à l'intérieur de ce modèle minimal (en supposant que ZF soit cohérente). Cependant, ces modèles des ensembles ne sont pas standards. En particulier, ils n'utilisent pas la relation normale d'appartenance et ils ne sont pas bien fondés.

On déduit que V = L est vrai dans L et dans tout L_κ qui est un modèle de ZF, des faits que le L de L et le V de L sont tous deux le vrai L et que le L de L_κ et le V de L_κ sont le vrai L_κ. Ce sont cependant les seuls modèles standard de ZF dans lesquels V = L soit valide.

L et les grands cardinaux

Comme Modèle:Math, les propriétés des ordinaux qui dépendent de l'absence d'une fonction ou d'une autre structure (i.e. les formules ΠModèle:Ind^ZF) sont préservées de V à L. Les Modèle:Lien de V sont donc aussi initiaux dans L. Les Modèle:Lien le restent dans L. Les cardinaux limites faibles deviennent des limites fortes dans L parce que l'hypothèse généralisée du continu est vérifiée dans L. Les cardinaux faiblement inaccessibles deviennent fortement inaccessibles. Plus généralement, n'importe quelle propriété de grand cardinal plus faible que Modèle:Lien (voir la Modèle:Lien) sera vérifiée également dans L.

Cependant 0^# n'est pas vérifiée dans L, même si elle l'est dans V. Tous les grands cardinaux dont l'existence implique 0^# ne conservent donc que leurs propriétés plus faibles que 0^#. Par exemple les cardinaux mesurables ne sont plus mesurables dans L mais restent Modèle:Lien.

On peut remarquer que si 0^# est vraie dans V, alors il existe une classe close et non bornée d'ordinaux indiscernables dans L. Bien que certains d'entre eux ne soient même pas des ordinaux initiaux de V, ils ont les propriétés plus faibles que 0^# dans L. De plus, n'importe quelle fonction sur les classes strictement croissante de la classe des indiscernables vers elle-même, peut être étendue d'une manière unique en un Modèle:Lien de L dans L. Cette propriété confère à L une structure de segments se répétant.

L peut être bien ordonné

Il y a plusieurs manières de faire de L un bon ordre. Certaines partent de l'élégante structure (traduction de Modèle:Citation) décrite par Ronald Bjorn Jense de L. Dans son article, il donne un aperçu d'une construction de bon ordre pour L utilisant seulement les définitions données jusqu'ici, plutôt que d'expliquer cette structure.

Supposons que x et y soient deux ensembles différents appartenant à L, et que nous souhaitons déterminer si x<y ou si x>y. Si x apparaît à l’étape L_α+1 et y apparaît dans L_β+1, et β différent de α, alors définissons x<y si et seulement si α<β. À partir de ce point nous supposerons que β=α.

Rappelons que L_α+1 = Def (L_α), c'est-à-dire que L_α+1 est défini grâce à des formules paramétrées par des ensembles de <L_α. Si on oublie temporairement les paramètres, les formules peuvent être énumérées par un codage de Gödel standard. Si Φ et Ψ sont les formules de plus petits nombres de Gödel permettant de définir respectivement x et y, et si ces formules sont différentes, nous définissons x<y si et seulement si le nombre de Φ est strictement inférieur au nombre de Ψ. Nous avons supposé β=α, donc nous supposerons Φ=Ψ.

Continuons la définition en supposant que Φ possède n paramètres de L_α. Supponsons que la séquence de paramètre zModèle:Ind, ..., zModèle:Ind soit la séquence de paramètres de Φ utilisée pour définir x, et que de même wModèle:Ind, ..., wModèle:Ind soit celle de y. Choisissons alors x<y si et seulement si

• z_n<wModèle:Ind ;
• (zModèle:Ind=wModèle:Ind et z_n-1<w_n-1) ;
• (zModèle:Ind=wModèle:Ind et z_n-1=w_n-1 et _n-2<w_n-2) ;
• etc.

C'est-à-dire l'ordre lexicographique inverse. S'il existe plusieurs séquences définissant le même ensemble, nous choisissons la plus petite par cette définition. Nous devons remarquer que les valeurs possibles pour un paramètre sont ordonnées d'après l'ordre sur L restreint à L_α, cette définition est donc une définition par récurrence transfinie.

Le bon ordre des valeurs sur chaque paramètre est donné par l'hypothèse d'induction de cette récurrence. Les valeurs des n-uplets de paramètres sont bien ordonnées par leur ordre produit. Les formules paramétrées sont bien ordonnées par somme ordonnée par les nombres de Gödel de bons ordres. Enfin L est bien ordonné par somme ordonnée par α des ordres sur L_α+1.

Notons que ce bon ordre peut être défini dans L lui-même par une formule sans paramètre de la théorie des ensembles, seulement avec les variables libres x et y. Cette formule a la même valeur de vérité quelle que soit la manière dont on l'évalue dans L, V, ou W (un autre modèle standard de ZF muni des mêmes ordinaux) et nous pouvons supposer qu'elle sera fausse si soit x soit y ne sont pas dans L.

Il est bien établi que l'axiome du choix est équivalent à la possibilité de donner un bon ordre sur n'importe quel ensemble. Bien ordonner la classe propre V (comme nous venons de le faire avec L) est équivalent à Axiome du choix global qui couvre les classes propres d'ensembles non vides; il est donc plus puissant que l'axiome du choix habituel.

L possède un principe de réflexion

Faire la démonstration que L vérifie l'axiome de séparation, l’axiome de remplacement, et l’axiome du choix nécessite (au moins dans la démonstration précédente) l'utilisation d'un Modèle:Lien pour L, en voici un: Par induction mathématique sur n<ω, nous utilisons ZF dans V pour démontrer que pour n’importe quel nombre ordinal α, il existe un ordinal β>α pour lequel n’importe quelle formule P(zModèle:Ind, ..., zModèle:Ind) avec zModèle:Ind, ..., zModèle:Ind appartenant à L_β constituée de moins de n symboles (les constantes contenues dans L_β comptent pour un symbole), nous obtenons que P(zModèle:Ind, ..., zModèle:Ind) est vérifiée dans L_β si et seulement si elle est vérifiée dans L.

L'hypothèse généralisée du continu est vraie dans L

Soit $S\in L_{\alpha }$, et T n'importe quel sous-ensemble constructible de S. Il existe alors un ordinal β pour lequel $T\in L_{\beta +1}$, donc $T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \mathrm{\Phi }(x,z_i)\}=\{x\in S:\mathrm{\Phi }(x,z_i)\}$, pour une formule Φ et un $z_i$ choisis dans $L_{\beta }$. Par le théorème de Löwenheim-Skolem inversé, il existe nécessairement un ensemble transitif K contenant $L_{\alpha }$ et un $w_i$, qui possède une théorie du premier ordre identique à $L_{\beta }$ dont le $w_i$ serait substitué par $z_i$; ce K aura le même cardinal que $L_{\alpha }$. comme $V=L$ est vérifiée dans $L_{\beta }$, il est aussi vrai dans K, par conséquent $K=L_{\gamma }$ pour un γ qui a le même cardinal qu'α. Donc $T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \mathrm{\Phi }(x,z_i)\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \mathrm{\Phi }(x,w_i)\}$ parce que $L_{\beta }$ et $L_{\gamma }$ ont la même théorie. T est donc dans $L_{\gamma +1}$.

Tous les sous-ensembles constructibles d'un ensemble infini S ont des rangs κ (au maximum) identiques au rang de S; il suit que si α est l’ordinal initial de κ⁺, alors $L\cap 𝒫(S)\subseteq L_{\alpha +1}$ peut servir d'"ensemble des parties" de S à l’intérieur de L. Cette étape montre que le simili ensemble des parties de S à un cardinal d'au plus $\Vert \alpha \Vert$. En supposant que S a κ pour cardinal, cet ensemble des parties doit avoir un cardinal d'exactement κ⁺. Ce qui est exactement l'hypothèse généralisée du continu rapportée à L.

Les ensembles constructifs sont définissables à partir des nombres ordinaux

Il existe une formule de la théorie des ensembles qui énonce quelque chose de similaire à X=L_α. Elle n’est composée que de variables libres pour X et α. En l’utilisant, nous pouvons étendre la définition pour n’importe quel ensemble constructible. Si s∈L_α+1, alors Modèle:Math pour une formule Φ et un zModèle:Ind, ..., zModèle:Ind de L_α. C'est la même chose de dire : pour tout y, y∈s si et seulement si [il existe un X tel que X=L_α et y∈X et Ψ(X, y, zModèle:Ind, ..., zModèle:Ind)] dans laquelle Ψ(X, ...) est le résultat de la restriction de tous les quantificateurs aux ensembles de X dans Φ(...). Notons que chaque zModèle:Ind∈L_β+1 pour un β<α. Combinons alors les formules destinées aux Modèle:Math avec la formule affectée à s. Si nous appliquons une quantification existentielle aux z de l’extérieur, nous obtenons une formule définissant l’ensemble Modèle:Math en utilisant uniquement les ordinaux Modèle:Math apparaissant comme paramètre dans les expressions similaires à X=L_α.

Nous avons en fait encore dans cet exemple une version simplifiée de la formule résultant de l’exécution des instructions données ici, mais le résultat est quand même là : il existe une formule de la théorie des ensembles vérifiée seulement pour les ensembles Modèle:Math que nous désirions, paramétrées seulement par des valeurs ordinales.

Constructibilité relative

Un modèle de la théorie des ensembles aussi petit que Modèle:Var, mais incluant ou étant lié à un ensemble constructible est parfois recherché. On dispose dans ces cas de deux versions d'une constructibilité relative notées Modèle:Math et Modèle:Math.

La classe Modèle:Math d'un ensemble non constructible est définie comme l’intersection de toutes les classes modèles standards de la théorie des ensembles qui incluent A et de tous les ordinaux.

Modèle:Math est définie par récurrence transfinie

• Modèle:Math = le plus petit ensemble transitif auquel appartient A, c'est-à-dire la fermeture transitive de Modèle:Math.
• Modèle:Math
• Si λ est un ordinal limite, alors $L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }{L}_{\alpha }(A)$.
• $L(A)=\bigcup _{\alpha }{L}_{\alpha }(A)$.

L'axiome du choix est utilisable si Modèle:Math contient un bon ordre pour la fermeture transitive de Modèle:Math. Cet axiome du choix peut être extensible à Modèle:Math. Dans le cas contraire, l'axiome n’est pas valable.

Un exemple classique en est Modèle:Math, le plus petit modèle incluant les réels, très utilisé en théorie descriptive des ensembles.

Modèle:Math

la classe des ensembles dont la construction dépend d'une classe propre ou d'un ensemble (à priori non constructible) A.

Sa définition utilise Modèle:Math, identique à Def (X) si ce n’est que dans l’évaluation de la valeur de vérité des formules Φ, le modèle Modèle:Math est remplacé par le modèle Modèle:Math, dans lequel Modèle:Math est un prédicat d'arité 1 s'interprétant Modèle:Citation.

Cette classe est systématiquement modèle de l’axiome du choix. Même si Modèle:Math est un ensemble, il n’appartient pas nécessairement à Modèle:Math, à l'exception des A constitués uniquement d'ordinaux.

Les ensembles de L(A) et de L[A] ne sont cependant, rappelons le, souvent pas constructibles, et leurs propriétés peuvent être très différentes de celles de L.

Références

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage