Arc sinus

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre $-\frac{\pi }{2}$ et $\frac{\pi }{2}$.

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée $\arcsin$ ($\mathrm{Arcsin}$ ou $\mathrm{Asin}$ en notation française, et ${\sin }^{-1}$, parfois $\mathrm{asin}$ ou $\mathrm{asn}$ , en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$. Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques.

On a donc par définition :

$\{\begin{array}{c}\theta =\arcsin x\\ x\in [-1;1]\end{array}⟺\{\begin{array}{c}x=\sin \theta \\ \theta \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\end{array}$.

Courbe représentative

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ par la réflexion d'axe la droite d'équation $y=x$.

Relations avec les fonctions circulaires directes

• $\sin (\arcsin x)=x$ pour $x\in [-1;1]$ ;
• $\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ pour $x\in [-1;1]$ ;
• $\tan (\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ pour $x\in ]-1;1[$.

Par contre, $\arcsin (\sin x)=x$ seulement pour $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

La formule générale est $\arcsin (\sin x)=(-1{)}^k(x-k\pi )$ où $k$ est la partie entière de $\frac{x}{\pi }+\frac{1}{2}$.

Dérivée

Comme dérivée d'une bijection réciproque, $\arcsin$ est dérivable sur $]-1;1[$ et vérifie : Modèle:Retrait Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation : Modèle:Retrait

Développement en série entière

Si $|x|⩽1$,

$\begin{array}{cc}\arcsin x& =x+\frac{1}{2}\cdot \frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{x^5}{5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})x^{2n+1}}{4^n(2n+1)}.\end{array}$

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.) Modèle:Démonstration

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

Primitives

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

Relation entre arc sinus et arc cosinus

Représentations graphiques d'$\arccos x$ (en bleu) et d'$\arcsin x$ (en rouge).

Modèle:Article détaillé Pour tout réel $x$ entre −1 et 1 :Modèle:Retrait

Extension aux complexes

De la relation valable pour tout $z$ complexe : $\sin z=-\mathrm{i}\sinh (\mathrm{i}z)$, on déduit

$\arcsin z=-\mathrm{i}\mathrm{arsinh}(\mathrm{i}z)$.

D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :Modèle:Retrait

Le développement en série $\arcsin z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{z^{2n+1}}{4^n(2n+1)}$ est alors valable pour tout $z$ dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.

Voir aussi

Articles connexes

• Arc cosinus
• Sinus hyperbolique réciproque
• Intégrale de Wallis (pour le développement de $\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$)

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun), § 4.4, p. 79-83