Exponentiation ensembliste
En théorie des ensembles, l'exponentiation ensembliste est l'opération qui, à deux ensembles E et F, associe l'ensemble des applications de E dans F. Cet ensemble est souvent noté[1] FModèle:Exp. On peut aussi le voir comme l'ensemble des familles indexées par E d'éléments de F : Modèle:Centrer
Exemples
- ℝModèle:Exp désigne l'ensemble des suites réelles.
- Pour tout ensemble E non vide, il n'y a aucune application de E dans l'ensemble vide (l'existence d'une image dans ∅ pour tout élément de E ne pourra jamais être vérifiée). Donc ∅E = ∅ si E ≠ ∅.
- Pour tout ensemble F, il y a une seule application de l'ensemble vide dans F : l'Modèle:Lien (de graphe vide). L'ensemble FModèle:Exp est donc un singleton.
Cardinal
Quand E et F sont des ensembles finis, si l'on note |E| le cardinal d'un ensemble E, on démontre (voir l'article « Arrangement avec répétition ») :
Quand E ou F est infini, on peut prendre cette identité comme une définition de la fonction puissance sur les nombres cardinaux. On montre en effet que le cardinal de FModèle:Exp ne dépend que des cardinaux respectifs de E et F.
Histoire
Georg Cantor a introduit cette construction justement à cette fin[2]. Ce qu'il appelait « recouvrement[3] » (Modèle:Langue en allemand) d'un ensemble N par un ensemble M est Modèle:Citation, c'est-à-dire ce que nous appelons aujourd'hui une application de N dans M. Il notait f(N) une telle application f, puis énonçait : Modèle:Citation
Notes et références
Modèle:Crédit d'auteurs Modèle:Crédit d'auteurs Modèle:Références
Articles connexes
- ↑ Modèle:Halmos65.
- ↑ Georg Cantor, Modèle:Lien web, 1895, traduit et commenté sur Bibnum, § 4.
- ↑ Ne pas confondre avec Recouvrement (mathématiques).