Loi normale repliée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale repliée (ou loi de défaut de forme) est une loi de probabilité continue liée à la loi normale. Considérons $X$ une variable aléatoire de loi normale avec moyenne $\mu$ et variance ${\sigma }^2$, alors la variable aléatoire $Y=|X|$ est de loi normale repliée. Ainsi on ne comptabilise que la valeur de la variable mais pas son signe.

Le terme « repliée » vient du fait que la densité de la loi « à gauche » de x=0 est repliée sur la partie « à droite » de x=0 en prenant la valeur absolue.

Caractérisations

Fonction de densité

La densité de probabilité est donnée par :

$f_Y(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(-x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})+\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})& \text{ pour }x\ge 0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition est donnée par :

$F_Y(y)=\{\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}[\exp (-\frac{(-x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})+\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})]\mathrm{d}x.& \text{ pour }y\ge 0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

En utilisant le changement de variable $z=(x-\mu )/\sigma$, on peut réécrire

$F_Y(y)=\underset{-\mu /\sigma }{\overset{(y-\mu )/\sigma }{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{1}{2}{(z+\frac{2\mu }{\sigma })}^2)\mathrm{d}z+\underset{-\mu /\sigma }{\overset{(y-\mu )/\sigma }{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{z^2}{2})\mathrm{d}z.$

De manière similaire, en utilisant le changement de variable $z=-(x+\mu )/\sigma \sqrt{2}$ dans la première intégrale et $z=(x-\mu )/\sqrt{2}\sigma$ dans la deuxième, on peut écrire

$F_Y(y)=\frac{1}{2}[\text{erf}\left(\frac{y+\mu }{\sqrt{2}\sigma }\right)+\text{erf}\left(\frac{y-\mu }{\sqrt{2}\sigma }\right)],$

où Modèle:Math est la fonction d'erreur. On retrouve alors la loi demi-normale quand Modèle:Math.

Propriétés

L'espérance est donnée par :

$𝔼(Y)=\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi }}\exp (-\frac{{\mu }^2}{2{\sigma }^2})+\mu [1-2\mathrm{\Phi }(-\frac{\mu }{\sigma })],$

où Φ(•) est la fonction de répartition de la loi normale standard.

La variance est donnée par :

$\mathrm{Var}(Y)={\mu }^2+{\sigma }^2-{\{\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi }}\exp (-\frac{{\mu }^2}{2{\sigma }^2})+\mu [1-2\mathrm{\Phi }(-\frac{\mu }{\sigma })]\}}^2.$

Ces deux valeurs, espérance et variance, peuvent être vues comme les paramètres de position et d'échelle de la nouvelle loi.

Liens avec d'autres lois

• Quand μ = 0, la loi normale repliée est la loi demi-normale.
• Si Y est de loi normale repliée, Y/σ suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et de paramètre μ/σ.

Références

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