Application multilinéaire

En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une application à plusieurs variables vectorielles et à valeurs vectorielles qui est linéaire en chaque variable. Une application multilinéaire à valeurs scalaires est appelée forme multilinéaire. Une application multilinéaire à deux variables vectorielles est dite bilinéaire.

Quelques exemples classiques :

• le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique ;
• le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique des colonnes (ou lignes) d'une matrice carrée.

L'étude systématique des applications multilinéaires permet d'obtenir une définition générale du déterminant, du produit extérieur et de nombreux autres outils ayant un contenu géométrique. La branche de l'algèbre correspondante est l'algèbre multilinéaire. Mais il y a également de très nombreuses applications dans le cadre des variétés, en topologie différentielle.

Définition

Soient un entier Modèle:Math et des espaces vectoriels $E_1,\dots ,E_k,F$ sur un même corps Modèle:Math. Une application

$f:E_1\times \dots \times E_k\to F$

est dite multilinéaire (ou plus précisément : Modèle:Math-linéaire) si elle est linéaire en chaque variable, c'est-à-dire si, pour des vecteurs $x_1,...,x_k,x{\text{'}}_i$ et des scalaires Modèle:Math et Modèle:Math,

$f(x_1,\dots ,x_{i-1},a{x}_i+bx{\text{'}}_i,x_{i+1},\dots ,x_k)=af(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_k)+bf(x_1,\dots ,x{\text{'}}_i,\dots x_k).$

De façon informelle, on peut se représenter une application Modèle:Math-linéaire comme une application produit de Modèle:Math termes, avec une propriété de type distributivité.

L'ensemble des applications Modèle:Math-linéaires de $E_1\times \dots \times E_k$ dans Modèle:Math est un sous-espace vectoriel de l'espace F^{E₁×…×E_n} de toutes les applications de E₁×…×E_n dans F. C'est donc un espace vectoriel, que l'on note $L(E_1,\dots ,E_k;F)$, ou plus simplement $L_k(E;F)$ lorsque $E_1=\dots =E_k=E$. L'espace $L_k(E;K)$ des [[Forme multilinéaire|formes Modèle:Math-linéaires]] sur Modèle:Math est noté $L_k(E)$.

Si Modèle:Math, on retrouve l'espace $L(E;F)$ des applications linéaires de Modèle:Math dans Modèle:Math. En revanche si Modèle:Math, il ne faut pas confondre l'espace d'applications multilinéaires $L(E_1,\dots ,E_k;F)$ avec l'espace $L(E_1\times \dots \times E_k;F)$ des applications linéaires sur l'espace vectoriel produit $E_1\times \dots \times E_k$. Par exemple, de K×K dans K, la multiplication $(x_1,x_2)\mapsto x_1{x}_2$ est bilinéaire mais pas linéaire, tandis que la projection $(x_1,x_2)\mapsto x_1$ est linéaire mais pas bilinéaire.

Écriture en composantes

Si ${ℬ}_1,\dots ,{ℬ}_k$ (finies ou pas) sont des bases respectives des espaces $E_1,\dots ,E_k$, l'application (linéaire) de restriction

$L(E_1,\dots ,E_k;F)\to F^{{ℬ}_1\times \dots \times {ℬ}_k},f\mapsto f_{|{ℬ}_1\times \dots \times {ℬ}_k}$

est bijective (donc est un isomorphisme d'espaces vectoriels), c'est-à-dire qu'une application Modèle:Math-linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur les Modèle:Math-uplets de vecteurs des bases, et que ces valeurs peuvent être des vecteurs quelconques de Modèle:Math.

Plus concrètement, et en supposant pour simplifier les notations que

$E_1=\dots =E_k\text{et}{ℬ}_1=\dots ={ℬ}_k=(e_i{)}_{i=1,\dots ,n},$

on peut décomposer chaque vecteur

$x_j=\sum _{i=1}^n{X}_{i,j}{e}_i.$

Alors l'expression d'une forme Modèle:Math-linéaire sur le Modèle:Math-uplet $x_1,...,x_k$ devient

$f(x_1,\dots ,x_k)=f(\sum _{i_1=1}^n{X}_{i_1,1}{e}_{i_1},\dots ,\sum _{i_k=1}^n{X}_{i_k,k}{e}_{i_k})=\sum _{i_1=1}^n\dots \sum _{i_k=1}^n\prod _{j=1}^k{X}_{i_j,j}f(e_{i_1},\dots ,e_{i_k}).$

La connaissance des $n^k$ valeurs $f(e_{i_1},\dots ,e_{i_k})$ détermine entièrement l'application Modèle:Math-linéaire Modèle:Math.

En particulier, l'espace $L_k(E)$ des formes Modèle:Math-linéaires sur un espace vectoriel Modèle:Math de dimension Modèle:Math a pour dimension $n^k$.

Symétrie et antisymétrie

Une application $f\in L_k(E;F)$ est dite

• Modèle:Page h' si elle est commutative, c’est-à-dire si l'échange de deux vecteurs ne modifie pas le résultat :

$f(x_1,\dots ,x_k)=f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots ,x_k)$ ;

• antisymétrique si elle est anticommutative, c’est-à-dire si l'échange de deux vecteurs a pour effet de changer le résultat obtenu en son opposé :

$f(x_1,\dots ,x_k)=-f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots ,x_k)$.

On peut effectuer plusieurs échanges de vecteurs successifs. On réalise ainsi une permutation des vecteurs, obtenue comme une succession de transpositions. À chaque étape, le résultat est non modifié si Modèle:Math est symétrique, et changé en son opposé si Modèle:Math est antisymétrique. Finalement, l'effet d'une permutation générale des vecteurs est de ne pas modifier le résultat si Modèle:Math est symétrique, et de multiplier par la signature de la permutation si Modèle:Math est antisymétrique. En résumé, ${𝔖}_k$ désignant le groupe symétrique d'indice $k$ :

• si Modèle:Math est symétrique alors :

$\mathrm{\forall }\sigma \in {𝔖}_k,f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)})=f(x_1,\dots ,x_k)$ ;

• si Modèle:Math est antisymétrique alors :

$\mathrm{\forall }\sigma \in {𝔖}_k,f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)})=\epsilon (\sigma )f(x_1,\dots ,x_k)$ où $\epsilon (\sigma )$ est la signature de $\sigma$.

Les sous-ensembles correspondants de $L_k(E;F)$, notés respectivement $S_k(E;F)$ et $A_k(E;F)$, sont des sous-espaces vectoriels. Si la caractéristique du corps Modèle:Math est égale à 2, ils sont égaux.

Application alternée

Une application $f\in L_k(E;F)$ est dite alternée si elle s'annule à chaque fois qu'on l'évalue sur un Modèle:Math-uplet contenant deux vecteurs identiques :

$[\mathrm{\exists }i\ne j,x_i=x_j]\Rightarrow f(x_1,\dots ,x_k)=0.$

De façon équivalente, une application Modèle:Math-linéaire sur $E^k$ est alternée si elle s'annule sur tous les Modèle:Math-uplets liés. En particulier, si Modèle:Math est strictement supérieur à la dimension de Modèle:Math, alors la seule application Modèle:Math-linéaire alternée de $E^k$ dans Modèle:Math est l'application nulle.

Application Modèle:Math-linéaire alternée en dimension Modèle:Math

Dans cette section on suppose que l'espace Modèle:Math est de dimension finie Modèle:Math et l'on étudie le cas particulier Modèle:Math. Pour Modèle:Math, cette étude permet de donner une définition alternative du déterminant dans une base e d'un n-uplet de vecteurs, ou de sa matrice, lorsqu'on l'a défini au préalable par la formule de Leibniz.

Si Modèle:Math est muni d'une base $e=(e_1,\dots ,e_n)$, on peut décomposer chaque vecteur

$x_j=\sum _{i=1}^n{X}_{i,j}{e}_i$.

Alors, l'expression d'une forme Modèle:Math-linéaire Modèle:Math sur le Modèle:Math-uplet $x_1,\dots ,x_n$ Modèle:Supra se simplifie lorsque Modèle:Math est alternée (donc aussi antisymétrique) :

$f(x_1,\dots ,x_n)=(\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\epsilon (\sigma )\prod _{j=1}^n{X}_{\sigma (j),j})f(e_1,\dots ,e_n)={\det }_e(x_1,\dots ,x_n)f(e_1,\dots ,e_n)$ où $\epsilon (\sigma )$ est la signature de $\sigma$.

Ainsi, la connaissance du seul vecteur $f(e_1,\dots ,e_n)$ suffit pour déterminer complètement la fonction Modèle:Math, et l'application ${\det }_e$ est l'unique forme Modèle:Math-linéaire alternée Modèle:Math telle que $f(e_1,\dots ,e_n)=1$.

Modèle:ThéorèmeRemarque : ce théorème permet d'orienter des espaces vectoriels réels en choisissant, dans le cas où F=R, dans la droite A des formes n-linéaires alternées, l'une ou l'autre des demi-droites A' ou A'' et en appelant plans vectoriels orientés les couples (E,A) ou (E,A').

Application Modèle:Math-linéaire alternée en dimension Modèle:Math

Reprenant le cas d'une application Modèle:Math-linéaire alternée en dimension Modèle:Math, on suppose cette fois que Modèle:Math (rappelons que si Modèle:Math, toute application Modèle:Math-linéaire alternée est nulle). Une partie seulement des résultats précédents peut être étendue. Il est toujours possible de supprimer les termes où figure deux fois le même vecteur ; il vient

$f(x_1,\dots ,x_k)=\sum _{(i_1,\dots ,i_k)\in J}\prod _{j=1}^k{X}_{i_j,j}f(e_{i_1},\dots ,e_{i_k})$

où Modèle:Math est l'ensemble des Modèle:Math-uplets $(i_1,...,i_k)$ avec chaque $i_j$ dans [|1,n|] et les $i_j$ tous distincts. De plus par antisymétrie, il est possible de réordonner les termes dans Modèle:Math de façon à ne conserver qu'une combinaison de termes de la forme

$f(e_{i_1},\dots ,e_{i_k})\text{ avec }1\le i_1<i_2<\dots <i_{k-1}<i_k\le n.$

Le nombre de tels Modèle:Math-uplets réordonnés est le coefficient binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$, et une forme Modèle:Math-linéaire alternée est caractérisée par la donnée de la valeur de Modèle:Math sur ces Modèle:Math-uplets. En définitive, le théorème précédent se généralise en :

Plus précisément, la formule de décomposition peut être écrite en utilisant la notion de déterminant : chaque coefficient est un mineur de la matrice représentative de la famille des vecteurs $x_i$ dans la base des $e_j$.

$f(x_1,\dots ,x_k)=\sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_{k-1}<i_k\le n}\left|\begin{array}{cccc}{X}_{i_1;1}& X_{i_1;2}& \dots & X_{i_1;k}\\ X_{i_2;1}& X_{i_2;2}& \dots & X_{i_2;k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ X_{i_k;1}& X_{i_k;2}& \dots & X_{i_k;k}\end{array}\right|f(e_{i_1},\dots ,e_{i_k}).$

Voir aussi

Articles connexes

Algèbre extérieure • Anticommutativité • Permanent • Tenseur

Bibliographie

Roger Godement, Cours d'algèbre