Noyau de sommabilité

Modèle:Ébauche En analyse mathématique, un noyau de sommabilité est une famille de fonctions intégrables, vérifiant certaines conditions suffisantes qui en font une unité approchée.

Définition

Soit $X$ l'espace euclidien ${ℝ}^n$ ou le cercle unité $ℝ/2\pi \mathbb{Z}$Modèle:, (ou $ℝ/\mathbb{Z}$), muni de sa mesure de Lebesgue (de masse 1, dans le cas du cercle).

Un noyau de sommabilité sur $X$ est une famille $(k_t{)}_{t>0}$ de fonctions intégrables sur $X$ telle que :

1. $\underset{X}{\int }{k}_t=1$
2. $\underset{t>0}{\sup }\underset{X}{\int }|k_t|<\mathrm{\infty }$
3. pour tout fermé $Y$ de $X$ ne contenant pas $0$, $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\underset{Y}{\int }|k_t|=0$.

Une variante est de considérer une suite de fonctions et de remplacer, dans le point 3, $t\to 0^{+}$ par $n\to +\mathrm{\infty }$.

Si les fonctions $k_t$ sont positives, la condition 2 est clairement redondante.

Exemples

Sur ${ℝ}^n$, si $k$ est une fonction intégrable et d'intégrale 1, la famille $(k_t{)}_{t>0}$ définie par $k_t(x):=t^{-n}k(x/t)$ est un noyau de sommabilitéModèle:,.

• Un exemple est le noyau de Poisson sur $ℝ$, qui correspond à la fonction $k:x\mapsto \frac{1}{\pi }\frac{x}{1+x^2}$.
• Un autre est le noyau de Gauss-Weierstrass sur ${ℝ}^n$, qui correspond à la fonction gaussienne $k:x\mapsto \exp (-\pi \Vert x{\Vert }^2)$.
• On peut en construire bien d'autres : voir par exemple « Intégrale impropre ».

Sur le cercle :

• le noyau de Dirichlet n'est pas un noyau de sommabilité ($\Vert D_n{\Vert }_1\to \mathrm{\infty }$) mais sa moyenne de Cesàro, le noyau de Fejér, en est un.
• le noyau de Landau (qui est une suite) et le noyau de Poisson (réindexé par $t:=1-r$ avec $r\in [0,1[$) sont des noyaux de sommabilité.
• le noyau de Gauss-Weierstrass sur $ℝ/\mathbb{Z}$ est le noyau de sommabilité $(w_t{)}_{t>0}$ donné par : $w_t(x):=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-4{\pi }^2{n}^{2}t+2\pi \mathrm{i}nx}=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(x+j{)}^2/4t}$.

Approximation par convolution

La principale propriété des noyaux de sommabilité est la suivante. Modèle:Théorème

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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